Якщо випадковий вектор \((\xi, \mu)\) має рівномірний розподіл в області \(D\), обмеженій лініями \(x = 0,\) \(x = 2,\) \(y = 0,\) \(y = 4,\) то нескладно показати, що випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) незалежні. Навести приклад іншого абсолютно неперервного розподілу випадкового вектора в цій же області \(D\), за якого випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) будуть незалежними.

Область \(D\) має такий вид:

Для незалежності випадкових величин \(\xi\) та \(\mu\) необхідно і достатньо, щоб щільність розподілу \(f(x, y)\) випадкового вектора \((\xi\), \(\mu)\) задовольняла умову \[f(x, y) = f_\xi(x) \cdot f_\mu(y),\] де \(f_\xi(x)\) і \(f_\mu(y)\) – маргінальні щільності розподілу \(\xi\) та \(\mu\) відповідно. Одним з можливих варіантів є задати \(f(x, y)\) як добуток двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної і визначена на відповідному проміжку: \[f(x,y) = A \cdot g(x) \cdot h(y),\] де \(0 \le x \le 2\) та \(0 \le y \le 4\), і \(A\) - нормуюча константа. Наприклад, можна взяти: \[g(x) = x, \quad h(y) = y.\] Тоді: \[f(x, y) = A \cdot x \cdot y.\]

Для визначення константи A використаємо умову нормування: \[\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = 1,\] \[\int_0^2 \int_0^4 Axy \, dy \, dx = 1,\] \[A \int_0^2 x \, dx \int_0^4 y \, dy = 1,\] \[A \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 1,\] \[A \cdot 2 \cdot 8 = 1,\] \[A = \frac{1}{16}.\]

Отже, щільність розподілу має вигляд: \[f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{16}, & 0 \le x \le 2,\;\; 0 \le y \le 4 \\ 0, & \text{інакше} \end{cases}\] Маргінальні щільності: \[f_\xi(x) = \int_0^4 f(x,y) \, dy = \int_0^4 \frac{xy}{16} \, dy = \frac{x}{16} \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = \frac{x}{16} \cdot 8 = \frac{x}{2}\] для \(0 \le x \le 2\) і 0 інакше. \[f_\mu(y) = \int_0^2 f(x,y) \, dx = \int_0^2 \frac{xy}{16} \, dx = \frac{y}{16} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{y}{16} \cdot 2 = \frac{y}{8}\] для \(0 \le y \le 4\) і 0 інакше.

Перевіримо умову незалежності: \[f(x, y) = \frac{xy}{16} = \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{8} = f_\xi(x) \cdot f_\mu(y).\] Отже, випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) незалежні.

Відповідь: щільність \[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{16}, & 0 \le x \le 2,\;\; 0 \le y \le 4 \\ 0, & \text{інакше} \end{cases}\] задовольняє умову незалежності випадкових величин \(\xi\) та \(\mu\) в області \(D\).