Умова

Випадковий вектор \((\xi, \mu)\) має рівномірний розподіл в області \(D\), обмеженій лініями \(x = 0\), \(x = 2\), \(y = 0\), \(y = 4\). Довести, що випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) незалежні.

Доведення

Область \(D\) має такий вид:

Оскільки випадковий вектор \((\xi, \mu)\) має рівномірний розподіл в області \(D\), обмеженій лініями \(x=0\), \(x=2\), \(y=0\), \(y=4\), то щільність розподілу \(f(x, y)\) має вигляд: \[f(x,y) = \begin{cases} c, & (x,y) \in D, \\ 0, & (x,y) \notin D. \end{cases}\]

Область \(D\) є прямокутником, тому її площа дорівнює \(S_D = 2 \cdot 4 = 8\). З умови нормування щільності: \[\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = 1,\] \[\iint_D c \, dx \, dy = c \iint_D dx \, dy = c \cdot S_D = 1,\] \[c = \frac{1}{8}.\] Таким чином, \[f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{8}, & 0 \le x \le 2,\;\; 0 \le y \le 4, \\ 0, & \text{інакше}. \end{cases}\]

Далі знайдемо маргінальні щільності розподілу випадкових величин \(\xi\) та \(\mu\): \[f_\xi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_0^4 \frac{1}{8} \, dy = \frac{1}{8} \left[y\right]_0^4 = \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{1}{2}, \qquad 0 \le x \le 2,\] \[f_\mu(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_0^2 \frac{1}{8} \, dx = \frac{1}{8} \left[x\right]_0^2 = \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4}, \qquad 0 \le y \le 4.\]

Щоб довести незалежність \(\xi\) та \(\mu\), потрібно показати, що: \[f(x, y) = f_\xi(x) \cdot f_\mu(y).\] У нашому випадку: \[f_\xi(x) \cdot f_\mu(y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8},\] що збігається зі значенням \(f(x, y)\) в області \(D\). Отже, \(\xi\) та \(\mu\) незалежні, що і треба було довести.