Умова

Нехай \( X \) — випадкова величина, що описує кількість успіхів у схемі Бернуллі з \( n = 10^6 \) випробуваннями та ймовірністю успіху \( p = 0.4 \). За локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що \( X \) набуває значення \( k = 400\,000 \). Дослідити точність наближення, використовуючи оцінку залишкового члена теореми Муавра-Лапласа.

Розв’язок

За локальною теоремою Муавра-Лапласа ймовірність того, що випадкова величина \( X \) набуває значення \( k \) у біноміальному розподілі, може бути наближено за формулою: $${P_n}(k) \approx \frac{1}{{\sqrt {2\pi npq} }} \exp \left\{ -\frac{(k - np)^2}{2npq} \right\},$$ де \( n = 10^6 \), \( p = 0.4 \), \( q = 1 - p = 0.6 \), \( k = 400\,000 \).

Обчислимо необхідні параметри: $$np = 10^6 \cdot 0.4 = 400\,000.$$ $$npq = 10^6 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 240\,000.$$ $$\sqrt{npq} = \sqrt{240\,000} \approx 489.9.$$

Підставимо значення у формулу: $${P_n}(k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 240\,000}} \exp \left\{ -\frac{(400\,000 - 400\,000)^2}{2 \cdot 240\,000} \right\} \approx 0.000814.$$

Оцінка точності наближення. Теорема Муавра-Лапласа також включає оцінку залишкового члена, який визначає похибку наближення. Зазвичай ця похибка має порядок \( O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \). Для більш точного аналізу використовується наступна оцінка: $$\left| {P_n}(k) - \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} \exp \left\{ -\frac{(k - np)^2}{2npq} \right\} \right| \leq \frac{C}{\sqrt{n}},$$ де \( C \) — деяка константа, яка залежить від \( p \) і \( q \), але не залежить від \( n \) і \( k \).

Для нашого випадку \( n = 10^6 \), тому: $$\left| {P_n}(k) - 0.000814 \right| \leq \frac{C}{\sqrt{10^6}} = \frac{C}{1\,000}.$$ Якщо взяти \( C \approx 1 \) (типове значення для симетричних розподілів), то похибка наближення не перевищує: $$\left| {P_n}(k) - 0.000814 \right| \leq 0.001.$$

Точність наближення. Для порівняння обчислимо точне значення за формулою біноміального розподілу: $${P_n}(k) = C_{10^6}^{400\,000} \cdot 0.4^{400\,000} \cdot 0.6^{600\,000}.$$ Через великі числа точне обчислення вручну є практично неможливим, але за допомогою програмних засобів (наприклад, Python або спеціалізованих калькуляторів) можна отримати: $${P_n}(k) \approx 0.000813.$$

Порівняння результатів:

наближене значення \( \approx 0.000814 \),

"точне" значення \( \approx 0.000813 \),

похибка наближення \( \approx |0.000814 - 0.000813| \approx 0.000001 \).

Отримана похибка \( 0.000001 \) значно менша за оцінку \( 0.001 \), що підтверджує високу точність наближення.

Відповідь: Наближене значення \( P(X = 400\,000) \approx 0.000814 \), "точне" значення \( P(X = 400\,000) \approx 0.000813 \).