Якщо випадковий вектор \[ \xi = \left( \xi_1; \xi_2 \right) \] має щальність \( f_{\xi}(x, y) \), то	Якщо випадкові величини \( \xi_1 \) та \( \xi_2 \) незалежні та мають щільності \( f_1(x) \) та \( f_2(x) \) відповідно, то
випадкова величина \( \eta = \xi_1 + \xi_2 \) має щільність розподілу
$$\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green} f_{\eta}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi}(t, x-t) \, dt }}$$	$$\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} f_{\eta}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t)f_2(x-t)\, dt }}$$
випадкова величина \( \theta = \xi_1 - \xi_2 \) має щільність розподілу
$$\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green} f_{\theta}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi}(t, t-x) \, dt }}$$	$$\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} f_{\theta}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t)f_2(t-x)\, dt }}$$
випадкова величина \( \zeta = \xi_1 \xi_2 \) має щільність розподілу
$$\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green} f_{\zeta}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|t|} f_{\xi} \left( t, \frac{x}{t} \right) \, dt }}$$	$$\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} f_{\zeta}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|t|}f_1(t)f_2 \left( \frac{x}{t} \right) \, dt }}$$
випадкова величина \( \nu = \xi_1 / \xi_2 \) має щільність розподілу
$$\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green} f_{\nu}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} |t| f_{\xi}(xt, t) \, dt }}$$	$$\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} f_{\nu}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} |t| f_1(xt)f_2(t)\, dt }}$$

Якщо випадковий вектор \( \xi = \left( \xi_1; \xi_2 \right) \) має щальність \( f_{\xi}(x, y) \),
а випадкова величина \( U = g(\xi_1, \xi_2) \) для деякої функції \( g(x, y), \) то $$\bbox[5px, border: 1px solid black]{ \bbox[10pt]{ \color{black}  f_U(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \delta(u - g(x, y)) dx dy }}$$ де \( \delta(t) \) - дельта-функція Дірака.

Якщо випадковий вектор \(\bar{\xi }\) має щільність \(\mathop{f}_{{\bar{\xi }}}\left( {\bar{x}} \right),\)
то його лінійне перетворення \(\bar{\eta }=A\bar{\xi }\) має щільність $$\bbox[5px, border: 1px solid black]{ \bbox[10pt]{ \color{black}  {f}_{{\bar{\eta }}}\left( {\bar{x}} \right)={\left| \det A \right|}^{-1}{f}_{{\bar{\xi }}}\left( {{A}^{-1}}\bar{x} \right) }}$$