Умова

Чи є відношення незалежності, задане на елементах сигма-алгебри подій, транзитивним?

Розв'язок

Може здатись, що це складна задача, але насправді складним тут є лише усвідомлення того, про що запитують. Згадаємо, що коли йдеться про якесь бінарне відношення на множині якихось елементів, то кожні два елементи або знаходяться у цьому відношенні, або ні. Про які елементи йдеться? Йдеться про події і ми знаємо, що кожні дві події ненульової ймовірності можуть бути або залежними, або незалежними. Позначимо фразу "події \(A\) та \(B\) незалежні" для скорочення наступним чином \(A \perp B\). Якщо пригадати, що означає транзитивність бінарного відношення, то за наших позначень це буде означати, що із \(A \perp B\) та \(B \perp C\) має випливати \(A \perp C\). Отже, нам лише потрібно зрозуміти, чи завжди із \(A \perp B\) та \(B \perp C\) випливатиме \(A \perp C\).

Неважко навести приклад, щоб показати, що це не завжди так. Нехай при підкиданні чесного грального кубика \(A=\{\) випало парне число \(\}\), \(B=\{\) випало 1 або 6 \(\}\), \(C=\{\) випало непарне число \(\}\). Нескладно показати, що

\(A \perp B\), бо

\( \frac{1}{6} = P(AB) = P(A) P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \),

\(B \perp C\), бо

\( \frac{1}{6} = P(BC) = P(B) P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \),

але \(A \not\perp C\), бо

\( 0 = P(AC) \neq P(A) P(C) = 0.5 \cdot 0.25 \).

Відповідь ні.