Частинка починає рух в початку координат і переміщується в деякому напрямку на відстань \(l_1\). Потім вона миттєво змінює напрям руху і вже в новому напрямі переміщується на відстань \(l_2\). В результаті траєкторія блукання частинки складається з відрізків довжиною \(l_1, l_2, ..., l_n\), напрямок кожного з яких задається кутом \(\alpha_k\) з віссю OX, рівномірно розподіленого на інтервалі \([0;2\pi]\). Випадкові величини \(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\) незалежні. Знайти характеристичну функцію координат кінцевої точки траєкторії \((X,Y)\).

За визначенням характеристичною функцією випадкового вектора \(\vec \xi = ({\xi _1},{\xi _1},...,{\xi _n})\) називається функція дійсного аргументу, визначена наступним чином: \[{\varphi _{(\xi_1,\xi_1,...,\xi_n)}}({t_1},{t_1},...,{t_n}) = M{e^{i\sum\limits_{k = 1}^n {{t_k}{\xi _k}} }}.\] Для знаходження характеристичної функції вектора \((X,Y)\), спочатку розглянемо його компоненти. Кінцеві координати \(X\) та \(Y\) визначаються сумою проекцій відрізків \(l_k\) на осі \(OX\) та \(OY\) відповідно. \[X = \sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}\cos ({\alpha _k})} ,\;\;\;\;\;Y = \sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}\sin ({\alpha _k})}.\]

Тому за визначенням характеристична функція вектора \((X,Y)\) матиме наступний вид: \[{\varphi _{(X,Y)}}(x,y) = M{e^{i(xX + yY)}} = M{e^{i\left( {x\sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}\cos ({\alpha _k})} + y\sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}\sin ({\alpha _k})} } \right)}} = \] \[ = M{e^{i\sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}(x\cos ({\alpha _k}) + y\sin ({\alpha _k}))} }} = \] \[ = M{e^{i\sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin \left( {{\alpha _k} + arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)} \right)} }} = M\prod\limits_{k = 1}^n {{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin \left( {{\alpha _k} + arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)} \right)}}} .\]

Надалі для зручності позначимо \(\phi = arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)\). Оскільки \({\alpha _1},{\alpha _2},...,{\alpha _n}\) незалежні, то в силу теореми про спадковість незалежності випадкових величин незалежними будуть і в.в. \({e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}}\). Тоді за мультиплікативною властивістю математичного сподівання \[{\varphi _{X,Y}}(x,y) = M\prod\limits_{k = 1}^n {{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}}} = \prod\limits_{k = 1}^n {M{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}}}.\] Обчислимо окремо кожний множник \(M{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}}\), а для цього спершу потрібно знайти щільність \({f_{{\alpha _k}}}(t)\). \[{\alpha _k} \sim U([0;2\pi ]) \Rightarrow {f_{{\alpha _k}}}(t) = \begin{cases} \frac{1}{{2\pi }}, & t \in [0;2\pi ] \\ 0, & t \notin [0;2\pi ] \end{cases}\]

Шукане матсподівання знаходимо за відповідною формулою (в нашому випадку це матсподівання функції випадкової величини): \[M{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin (t + \phi )}}{f_{{\alpha _k}}}(t)dt} = \] \[ = \int\limits_0^{2\pi } {{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin (t + \phi )}}\frac{1}{{2\pi }}dt} = {J_0}\left( {{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right),\] де \({J_0}(z)\) – функція Бесселя першого роду. Отже, шукана характеристична функція \[{\varphi _{X,Y}}(x,y) = \prod\limits_{k = 1}^n M{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}} = \prod\limits_{k = 1}^n {{J_0}\left( {{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}.\]

Перевірка результату: Перевіримо дві властивості характеристичних функцій: значення 1 в точці 0 та обмеженість одиницею. Тут варто нагадати деякі властивості функції Бесселя: \({J_0}(0) = 1\) та \(\forall x \in \mathbb{R}\;\;\;{|{J_0}(x)|} \le 1\). Тоді
1) \({{\varphi _{(x,Y)}}}(0,0) = \prod\limits_{k = 1}^n {{J_0}(0)} = {1^n} = 1.\)
2) \( \left| {{\varphi _{(X,Y)}}}(x,y) \right| = \left| {\prod\limits_{k = 1}^n {{J_0}({l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} })} \right| \le \prod\limits_{k = 1}^n {\left| {{J_0}({l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} )} \right|} \le \prod\limits_{k = 1}^n 1 = 1.\)

Інтерпретація результату: Отримана характеристична функція — дійснозначна (адже дійснозначною є функція \({J_0}(z)\)), отже компоненти випадкового вектора \((X,Y)\) — симетричні в.в. та, як наслідок, мають нульові матсподівання. Також варто зазначити, що з умови задачі випливає, що кінцева точка траєкторії лежить всередині круга з центром в початку координат та радіусом \(\sum\limits_{k = 1}^n {{l_k}} \). Дані твердження узгоджуються з експериментальним моделюванням описаного блукання частинки.

Відповідь: \({{\varphi _{(X,Y)}}}(x,y) = \prod\limits_{k = 1}^n M{e^{i{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin ({\alpha _k} + \phi )}} = \prod\limits_{k = 1}^n {{J_0}\left( {{l_k}\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}, \) де \({J_0}(z)\) – функція Бесселя першого роду.