Умова

Двовимірний неперервний випадковий вектор \((\xi, \eta)\) рівномірно розподілений в області \(H\), де \(H\) – фігура обмежена кривими: \(y=\pm\frac{x^2}{2}\), \(y=\pm 2\), \(y=-2x+8\), \(y=2x-8\). Знайти \(M\xi\), \(D\xi\), \(M\eta\), \(D\eta\), коваріацію \(cov(\xi, \eta)\) та коефіцієнт кореляції \(r = r(\xi, \eta)\).

Розв’язок

1. Побудуємо область \(H\) на \(xOy\).

2. Знайдемо щільність \(f(x,y)\) випадкового вектора \((\xi, \eta)\). Оскільки випадковий вектор \((\xi, \eta)\) рівномірно розподілений в області \(H\), то щільність \(f(x,y)\) визначається наступним чином: \[f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S_H}, & (x,y) \in H; \\ 0, & (x,y) \notin H \end{cases}\] де \(S_H\) – площа фігури \(H\): \[\begin{cases} -\frac{x^2}{2} \le y \le \frac{x^2}{2} & при \qquad 0 \le x \le 2; \\ -2 \le y \le 2 & при \qquad 2 \le x \le 3; \\ 2x-8 \le y \le -2x+8 & при \qquad 3 \le x \le 4. \end{cases}\] Враховуючи симетричність фігури \(H\) відносно осі \(Ox\), будемо мати:

\[{S_H} = \iint\limits_H {dxdy} = 2 \left( {\int\limits_0^2 {dx\int\limits_{ - \frac{{{x^2}}}{2}}^{\frac{{{x^2}}}{2}} {dy} } + \int\limits_2^3 {dx\int\limits_{ - 2}^2 {dy} } + \int\limits_3^4 {dx\int\limits_{2x-8}^{ - 2x + 8} {dy} } } \right) = \] \[ = 2 \left( {\int\limits_0^2 {{x^2}dx} + \int\limits_2^3 {4 dx} + \int\limits_3^4 {(-4x + 16)dx} } \right) = \] \[ = 2 \left( {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 + \left. {4x} \right|_2^3 + \left. {(-2x^2 + 16x)} \right|_3^4 } \right) = \] \[ = 2 \left( {\frac{8}{3} + (12-8) + (-32+64) - (-18+48)} \right) = \] \[ = 2 \left( {\frac{8}{3} + 4 + 32-30} \right) = 2 \left( {\frac{8}{3} + 6} \right) = 2 \left( {\frac{26}{3}} \right) = \frac{52}{3}. \] Тоді \[f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{26}, & (x,y) \in H; \\ 0, & (x,y) \notin H. \end{cases}\]

3. Знайдемо щільності координат вектора \((\xi, \eta)\) за формулами: \[{f_\xi }(x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)dy} ;\;\;\;\;\;{f_\eta }(y) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)dx}.\]

Підставивши значення, отримаємо, що: \[{f_\xi }(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0; \\ \frac{3}{{26}}\int\limits_{ - \frac{{{x^2}}}{2}}^{\frac{{{x^2}}}{2}} {dy} = \frac{3}{{26}}{x^2}, & 0 < x \le 2; \\ \frac{3}{{26}}\int\limits_{ - 2}^2 {dy} = \frac{6}{{13}}, & 2 < x \le 3; \\ \frac{3}{{26}}\int\limits_{2x - 8}^{ - 2x + 8} {dy} = \frac{3}{{13}}( - 2x + 8), & 3 < x \le 4; \\ 0, & x > 4 \end{cases}\]
\[{f_\eta }(y) = \begin{cases} 0, & y \le -2; \\ \frac{3}{{26}}\int\limits_{\sqrt {2y} }^{y + 8} {dx} = \frac{3}{{26}}\left( {\frac{{y + 8}}{2} + 4 - \sqrt {2y} } \right), & -2 < y \le 0; \\ \frac{3}{{26}}\int\limits_{\sqrt {2y} }^{ - y + 8} {dx} = \frac{3}{{26}}\left( {\frac{{ - y + 8}}{2} + 4 - \sqrt {2y} } \right), & 0 < y \le 2; \\ 0, & y > 2. \end{cases}\]

Перевіримо чи виконується властивість щільності: \[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_\xi }(x)dx} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_\eta }(y)dy} = 1.\] \[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_\xi }(x)dx} = \int\limits_0^2 {\frac{3}{{26}}{x^2}dx} + \int\limits_2^3 {\frac{6}{{13}}dx} + \int\limits_3^4 {\frac{3}{{13}}( - 2x + 8)dx} = 1.\] \[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_\eta }(y)dy} = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{3}{{26}}\left( {\frac{y}{2} + 4 - \sqrt { - 2y} } \right)dy} + \int\limits_0^2 {\frac{3}{{26}}\left( {\frac{{ - y}}{2} + 4 - \sqrt {2y} } \right)dy} = 1.\]

4. Знайдемо \(M\xi\), \(D\xi\) та \(M\eta\), \(D\eta\). Математичне сподівання обчислимо за формулою: \[M\mu = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x \cdot {f_\mu }(x)dx}.\] Дисперсію обчислимо за розрахунковою формулою: \[D\mu = M{\mu ^2} - {(M\mu )^2},\] а математичне сподівання \(M{\mu ^2}\) знайдемо як \[M{\mu ^2} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2} \cdot {f_\mu }(x)dx}.\] Тоді \[M\xi = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x \cdot {f_\xi }(x)dx} = \int\limits_0^2 {x \cdot \frac{3}{{26}}{x^2}dx} + \int\limits_2^3 {x \cdot \frac{6}{{13}}dx} + \int\limits_3^4 {x \cdot \frac{3}{{13}}( - 2x + 8)dx} = \frac{{31}}{{13}}.\]

\[M{\xi ^2} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2} \cdot {f_\xi }(x)dx} = \int\limits_0^2 {{x^2} \cdot \frac{3}{{26}}{x^2}dx} + \int\limits_2^3 {{x^2} \cdot \frac{6}{{13}}dx} + \int\limits_3^4 {{x^2} \cdot \frac{3}{{13}}( - 2x + 8)dx} = \frac{{811}}{{130}}.\] \[D\xi = M{\xi ^2} - {(M\xi )^2} = \frac{{811}}{{130}} - {\left( {\frac{{31}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{933}}{{1690}} \approx 0.552.\] \[M\eta = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x \cdot {f_\eta }(x)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{3}{{26}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2} + 4y - y\sqrt { - 2y} } \right)dy} + \int\limits_0^2 {\frac{3}{{26}}\left( {\frac{{ - {y^2}}}{2} + 4y - y\sqrt {2y} } \right)dy} = 0.\] \[M{\eta ^2} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2} \cdot {f_\eta }(x)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{3}{{26}}\left( {\frac{{{y^3}}}{2} + 4{y^2} - {y^2}\sqrt { - 2y} } \right)dy} + \int\limits_0^2 {\frac{3}{{26}}\left( {\frac{{ - {y^3}}}{2} + 4{y^2} - {y^2}\sqrt {2y} } \right)dy} = \frac{{86}}{{91}}.\] \[D\eta = M{\eta ^2} - {(M\eta )^2} = \frac{{86}}{{91}} \approx 0.945.\]

5. Обчислимо коваріацію \(cov(\xi, \eta)\) за розрахунковою формулою: \[cov(\xi ,\eta ) = M\xi \eta - M\xi M\eta.\] За визначенням математичного сподівання для неперервних випадкових величин \[M\xi \eta = \iint\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xyf(x,y)dxdy}.\] \[M\xi \eta = \frac{3}{{26}}\int\limits_0^2 {xdx\int\limits_{ - \frac{{{x^2}}}{2}}^{\frac{{{x^2}}}{2}} {ydy} } + \frac{3}{{26}}\int\limits_2^3 {xdx\int\limits_{ - 2}^2 {ydy} } + \frac{3}{{26}}\int\limits_3^4 {xdx\int\limits_{2x - 8}^{ - 2x + 8} {ydy} } = \frac{3}{{26}}\int\limits_0^2 {x\left( {\frac{{{x^4}}}{8} - \frac{{{x^4}}}{8}} \right)dx} + \] \[ + \frac{3}{{26}}\int\limits_2^3 {x\left. {\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 2}^2dx} + \frac{3}{{26}}\int\limits_3^4 {x\left. {\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_{2x - 8}^{ - 2x + 8}dx} = \frac{3}{{26}}\int\limits_3^4 {x\frac{{{{( - 2x + 8)}^2} - {{(2x - 8)}^2}}}{2}dx} = 0.\] Тоді \[cov(\xi ,\eta ) = M\xi \eta - M\xi M\eta = 0 - \frac{{31}}{{13}} \cdot 0 = 0.\]

6. Обчислимо коефіцієнт кореляції \(r = r(\xi, \eta)\). Оскільки за визначенням \[r = r(\xi ,\eta ) = \frac{{cov(\xi ,\eta )}}{{\sqrt {D\xi D\eta } }},\] а \[cov(\xi ,\eta ) = 0,\] то маємо \[r = r(\xi ,\eta ) = 0.\] Отримали, що випадкові величини \(\xi\) та \(\eta\) є некорельованими.

Відповідь: \(M\xi = \frac{{31}}{{13}}\), \(D\xi = \dfrac{{933}}{{1690}} \approx 0.552\), \(M\eta = 0\), \(D\eta = \dfrac{{86}}{{91}} \approx 0.945\), \(cov(\xi ,\eta ) = 0\), \(r = 0\).