Умова

Розподіл ймовірностей випадкового вектора \( \left( \xi, \eta \right) \) задано наступним чином:

\( \xi \) \( \eta \)	6	12
-3	0.2	0.15
2.5	0.25	\( \alpha \)

Обчислити \( \alpha \) та з’ясувати, чи залежні випадкові величини \( \xi \) та \( \eta .\)

Розв’язок

1) Оскільки сума усіх чотирьох ймовірностей \( 0.2 + 0.15 + 0.25 + \alpha \) має дорівнювати 1, то \( \alpha = 0.4.\) Занесемо це значення у таблицю і знайдемо суми ймовірностей у кожному рядку (їх впишемо у останній стовпчик — це будуть ймовірності відповідних значень випадкової величини \( \eta \)):

\( \xi \) \( \eta \)	6	12	\( p_i \)
-3	0.2	0.15	0.35
2.5	0.25	0.4	0.65

Суми ймовірностей у кожному стовпчику помістимо у новий рядок внизу – це будуть ймовірності відповідних значень випадкової величини \( \xi \):

\( \xi \) \( \eta \)	6	12	\( p_i \)
-3	0.2	0.15	0.35
2.5	0.25	0.4	0.65
\( q_j \)	0.45	0.55	1

Одиниця в останній комірці є одночасно сумою чисел і в останньому рядку, і в останньому стовпчику.

2) Випадкові величини \( \xi \) та \( \eta \) є незалежними, лише якщо кожна ймовірність у вихідній таблиці є добутком відповідної суми в рядку і стовпчику, але бачимо, що, наприклад, \[ 0.2 \ne 0.35 \cdot 0.45 \]

\( \xi \) \( \eta \)	6	12	\( p_i \)
-3	0.2	0.15	0.35
2.5	0.25	0.4	0.65
\( q_j \)	0.45	0.55	1

що означає, що випадкові величини \( \xi \) та \( \eta \) залежні.

Відповідь: \(\;\; \alpha = 0.4; \;\;\) випадкові величини \( \xi \) та \( \eta \) залежні.