Умова

Монету підкинуть \(2N\) разів. За локальною теоремою Муавра-Лапласа оцінити ймовірність того, що герб випаде на \(2m\) разів більше ніж решітка.

Розв’язок

Для симетричної монети ймовірність випадання герба (ймовірність «успіху» у схемі незалежних випробувань Бернуллі) дорівнює ймовірності випадання решітки (ймовірність «невдачі» у схемі незалежних випробувань Бернуллі) \(p = q = \frac{1}{2}.\) Нас цікавить подія, за якої герб з’явиться \(k = N + m\) разів, а решітка з’явиться \(2N - k = N - m\) разів. За локальною теоремою Муавра-Лапласа ймовірність \({P_n}(k)\) того, що в \(n\) незалежних випробуваннях з ймовірність успіху \(p\) герб з’явиться \(k\) разів, можна оцінити так: $${P_n}(k) \approx \frac{1}{{\sqrt {npq} }}\varphi \left( {\frac{{k - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right),$$ де \(\varphi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp \left\{ { - \frac{{{x^2}}}{2}} \right\}\). Підставимо значення \(n = 2N\), \(k = N + m\): $$\frac{1}{{\sqrt {npq} }}\varphi \left( {\frac{{k - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2N \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} }}\varphi \left( {\frac{{N + m - 2N \times \frac{1}{2}}}{{\sqrt {2N \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} }}} \right) = \sqrt {\frac{2}{N}} \varphi \left( {m\sqrt {\frac{2}{N}} } \right) = \sqrt {\frac{1}{{\pi N}}} \exp \left\{ { - \frac{{{m^2}}}{N}} \right\}$$

Відповідь: \(\sqrt {\dfrac{1}{{N\pi }}} \exp \left\{ { - \dfrac{{{m^2}}}{N}} \right\}.\)