Нерівність Йєнсена. Нехай борелівська функція \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) опукла. Тоді для будь-якої випадкової величини \(\xi\) зі скінченним першим моментом \((M\xi < \infty)\) справедлива нерівність \[Mg(\xi) \ge g(M\xi)\]

Нехай \(M|\xi|^t < \infty\). Довести, що для будь-якого \(0 \lt s \lt t\): \[\sqrt[s]{M|\xi|^s} \le \sqrt[t]{M|\xi|^t}\]

Оскільки \(0 \lt s \lt t\), то \(g(x) = |x|^{\frac{t}{s}}\) – опукла функція, отже, можемо скористатися нерівністю Йєнсена для випадкової величини \(\eta = |\xi|^s\): \[\left( {M|\xi {|^s}} \right)^{\frac{t}{s}} = {\left( {M\eta } \right)^{\frac{t}{s}}} = g(M\eta ) \le Mg(\eta ) = M\left( {{{\left( {|\xi {|^s}} \right)}^{\frac{t}{s}}}} \right) = M\left( {|\xi {|^{s \cdot \frac{t}{s}}}} \right) = M|\xi {|^t},\] таким чином, \[\left( {M|\xi {|^s}} \right)^{\frac{t}{s}} \le M|\xi {|^t}.\] Візьмемо корінь степеня \(t\) від обох частин нерівності: \[\sqrt[t]{{\left( {M|\xi {|^s}} \right)^{\frac{t}{s}}}} \le \sqrt[t]{{M|\xi {|^t}}},\] \[\sqrt[s]{{M|\xi {|^s}}} \le \sqrt[t]{{M|\xi {|^t}}},\] що і треба було довести.