Чи є функція \( \varphi(t) = e^{-t^4} \) характеристичною функцією деякої випадкової величини \( \xi \) ?

Припустимо, \( \varphi(t) = e^{-t^4} \) є характеристичною функцією деякої випадкової величини \( \xi \). Розкладемо цю функцію в ряд Тейлора: \( \varphi(t) = 1 - t^4 + \frac{t^8}{2} - \frac{t^{12}}{6} + ..., \) звідки $$ \frac{d\varphi(0)}{dt} = 0 \quad \text{та} \quad \frac{d^2\varphi(0)}{dt^2} = 0, $$ але відомо, що \[ \bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \varphi^{(k)}(0) = i^k M\xi^k }} \] звідки у нашому випадку отримуємо, що $$ M\xi = 0 \quad \text{та} \quad M\xi^2 = 0, $$ тому \( \xi = 0 \) майже напевно, але тоді характеристична функція такої випадкової величини має дорівнювати \( Me^{it\xi} = Me^{it0} = 1 \), що не відповідає нашій умові. Отримане протиріччя і означає, що вихідна функція не може бути характеристичною функцією ніякої випадкової величини.

Відповідь: ні.