Умова

Режим роботи світлофора (для машин): 1 хв. – зелений, \(\frac{1}{2}\) хв. – червоний і т.д. Дехто під'їжджає до світлофора на машині. Нехай випадкова величина \(\xi \in \left[ {0,\frac{1}{2}} \right]\) є часом очікування машини на світлофорі. Знайти функцію розподілу \(F_\xi (t)\) та математичне сподівання \(M\xi\).

Розв’язок

Зазначимо, що по-перше, випадкова величина \(\xi\) набуває значень з континуальної множини \(\left[ {0,\frac{1}{2}} \right]\), а по-друге, значення 0 вона приймає з ненульовою ймовірністю (бо якщо машина приїде, коли світлофор горить зеленим, то чекати їй не доведеться), тому розподіл у випадкової величини \(\xi\) є сумішшю, тобто, розподіл не є ні дискретним, ні абсолютно неперервним, ні сингулярним.

Далі, оскільки \(\xi \in \left[ {0,\frac{1}{2}} \right]\), то шукати її функцію розподілу будемо саме на носії розподілу, тобто, на множині \(\left[ {0,\frac{1}{2}} \right]\), а для цього розглянемо таку повну групу подій (пригадайте, що це таке): \[H_1 = \{\text{коли під'їжджає машина, то горить зелене світло}\}.\] \[H_2 = \{\text{коли під'їжджає машина, то горить червоне світло}\}.\] За геометричним визначенням ймовірності легко знайти \[P(H_1) = \frac{2}{3}\qquad та \qquad P(H_2) = \frac{1}{3}.\] І тоді для довільного \(x \in \left[ {0,\frac{1}{2}} \right]\) маємо за формулою повної ймовірності \[{F_\xi }(x) = P\{\xi \le x\} \overset{ФПІ}{=} P\{\xi \le x|{H_1}\} P\{{H_1}\} + P\{\xi \le x|{H_2}\} P\{{H_2}\} = 1 \cdot \frac{2}{3} + \frac{x}{{1/2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{{2x}}{3} = \frac{{2 + 2x}}{3}.\] Отже, функція розподілу матиме наступний вид: \[{F_\xi }(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \dfrac{{2 + 2x}}{3}, & x \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right], \\ 1, & x > \frac{1}{2}. \end{cases}\] Графік цієї функції розподілу такий:

Математичне сподівання \(M\xi\) (як інтеграл Лебега-Стілт'єса) обчислюється наступним чином: \[M\xi = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xdF(x)} = 0 \cdot (F(0) - F(0 - )) + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {xF'(x)dx} = 0 \cdot \frac{2}{3} + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {x \cdot \frac{2}{3}dx} = \frac{{{x^2}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{1}{{12}}.\]

Відзначимо, що \(M\xi\) чисельно дорівнює площі фігури, зафарбованої на наступному графіку зеленим кольором (спробуйте пояснити та узагальнити цей факт):

Відповідь: \(\;\;{F_\xi }(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \dfrac{{2 + 2x}}{3}, & x \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right], \\ 1, & x > \frac{1}{2}. \end{cases} \qquad M\xi = \frac{1}{{12}}\).