Позначимо через \(\mathbb{K}\) клас абсолютно неперервних випадкових величин, які можуть набувати лише значень з відрізку \([a;b]\), \(0 < a < b\), і для яких існують скінченні моменти \(M\xi\) та \(M\frac{1}{\xi}\). Знайти \(\mathop {\sup }\limits_{\xi \in \mathbb{K}} \left( {M\xi \cdot M\frac{1}{\xi }} \right)\).

Для заданих в умові \(0 < a < b\) розглянемо пряму \[g(x) = - \frac{a}{{ab}} \cdot x + \frac{{a + b}}{{ab}},\] яка проходить через точки \(A\left( {a,\frac{1}{a}} \right)\) та \(B\left( {b,\frac{1}{b}} \right)\):

Очевидно, що точки \(A\left( {a,\frac{1}{a}} \right)\) та \(B\left( {b,\frac{1}{b}} \right)\) належать гіперболі \(\frac{1}{x}\) і що \(\forall x \in [a;b] \;\; \frac{1}{x} \le g(x)\) (див. рисунок), тому \(\forall \xi \in \mathbb{K}\) має місце нерівність \[\frac{1}{\xi} \le g(\xi). \qquad (1)\] За лінійністю математичного сподівання \[Mg(\xi) = M\left( { - \frac{a}{{ab}} \cdot \xi + \frac{{a + b}}{{ab}}} \right) = - \frac{a}{{ab}} \cdot M\xi + \frac{{a + b}}{{ab}}, \qquad (2)\] тобто, \(Mg(\xi)\) існує (\(\epsilon\) скінченним значенням), бо за умовою існує \(M\xi\). Тоді із (1) та (2) випливає нерівність \[M\frac{1}{\xi} \le Mg(\xi) = - \frac{a}{{ab}} \cdot M\xi + \frac{{a + b}}{{ab}}. \qquad (3)\] Оскільки за умовою усі \(\xi \in \mathbb{K}\) набувають лише додатних значень, то для таких \(\xi \in \mathbb{K}\) \[M\xi > 0\] і якщо (3) домножити на \(M\xi > 0\), то отримаємо нерівність \[M\frac{1}{\xi} \cdot M\xi \le - \frac{a}{{ab}} \cdot {\left( {M\xi } \right)^2} + \frac{{a + b}}{{ab}} \cdot M\xi,\] де права частина нерівності є квадратичною функцією від \(M\xi\) (з гілками вниз) і вона досягає свого максимального значення \[ - \frac{a}{{ab}} \cdot {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + \frac{{a + b}}{{ab}} \cdot \frac{{a + b}}{2} = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}\] при \(M\xi = \dfrac{{a + b}}{2}\).

Розглянемо послідовність випадкових величин \(\{\xi_n |\; n \ge 1\}\), розподіл кожної з яких визначається відповідною щільністю \[{f_n}(x) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & x \in \left[ {a,a + \frac{1}{n}} \right] \cup \left[ {b - \frac{1}{n},b} \right], \\ 0, & інакше. \end{cases}\] або функцією розподілу \[{F_{{\xi _n}}}(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{1}{2}, & x \in \left[ {a + \frac{1}{n},b - \frac{1}{n}} \right], \\ \frac{n}{2} \cdot (x - a), & x \in \left[ {a,a + \frac{1}{n}} \right], \\ \frac{n}{2} \cdot (x - b) + 1, & x \in \left( {b - \frac{1}{n},b} \right], \\ 1, & x > b. \end{cases}\] Тоді, очевидно, що: \(\forall n \in \mathbb{N} \;\; M{\xi _n} = \frac{{a + b}}{2}\).

Розглянемо дискретну в.в \( \eta \), що має таку функцію розподілу \[{F_\eta }(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{1}{2}, & x \in [a,b], \\ 1, & x > b. \end{cases}\]

Очевидно, що \(\eta\) є дискретною випадковою, яка набуває лише значень \(a\) та \(b\) з ймовірностями 1/2 кожне. Тоді \(M\eta = \frac{{a + b}}{2}\). Оскільки \(F_{{\xi _n}}(x)\) збігаються до \(F_\eta (x)\) у всіх точках неперервності останньої, то в.в \(\xi_n\) збігаються за розподілом до в.в \(\eta\).

Розглянемо таку функцію \(f(x) = \frac{1}{x}\), де \(x \in [a;b]\), \(0 < a < b\). Вона неперервна на всій своїй області визначення, тому, як відомо, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } M\frac{1}{{{\xi _n}}} = M\frac{1}{\eta}.\] Причому, \(M\dfrac{1}{\eta} = \dfrac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}{2} = \dfrac{{a + b}}{{2ab}}\). Тоді \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {M{\xi _n} \cdot M\dfrac{1}{{{\xi _n}}}} \right) = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}\), тобто \(\dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}\) є мажорантою і точкою дотику, а отже і є супремумом \[\mathop {\sup }\limits_{\xi \in \mathbb{K}} \left( {M\xi \cdot M\frac{1}{\xi }} \right) = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}.\]

Відповідь: \(\;\; \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}\).