Умова

Кожна з незалежних випадкових величин \({\xi _1},\;{\xi _2}, \ldots \) може набувати одного з двох рівноможливих значень: \(P\left\{ {{\xi _1} = \pm {\alpha _{\rm{1}}}} \right\} = \frac{1}{2}\), \(P\left\{ {{\xi _2} = \pm {\alpha _{\rm{2}}}} \right\} = \frac{1}{2}, \ldots \) При цьому \(\forall n \ge 1\) \({\alpha _n} > \alpha > 0\). Чи застосовний до цієї послідовності ЗВЧ?

Розв’язок

Очевидно, що \(\forall n \ge 1\) \(M{\xi _n} = \frac{1}{2}n{\alpha _n} + \frac{1}{2}\left( { - n{\alpha _n}} \right) = 0\) і тоді стандартний запис виконання ЗВЧ $$\forall \varepsilon > 0 \qquad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{{\rm{k}} = 1}^n {{\xi _k}} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {M{\xi _k}} } \right| < \varepsilon } \right\} = 1$$ набуває виду $$ \forall \varepsilon > 0 \qquad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} } \right| < \varepsilon } \right\} = 1. \tag{1} $$

Застосуємо до ймовірності \(P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} } \right| < \varepsilon } \right\}\) формулу повної ймовірності для двох гіпотез \({H_1} = \left\{ {{\xi _n} = n{\alpha _n}} \right\}\) та \({H_2} = \left\{ {{\xi _n} = - n{\alpha _n}} \right\}\): $$P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} } \right| < \varepsilon } \right\} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}P\left\{ {\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} + n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon } \right\} + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}P\left\{ {\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} - n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon } \right\}. \tag{2}$$

Розглянемо \(\varepsilon = \frac{\alpha }{2}\). Для такого \(\varepsilon \) буде виконуватись нерівність \(0 < \varepsilon < {\alpha _n}\) для довільного \(n > 1\).

• Якщо виконується нерівність \(\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} + n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon \), то $$\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} - n{\alpha _n}} \right| = \left| {\frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} + n{\alpha _n}} \right) - 2{\alpha _n}} \right| > \left| {\varepsilon - 2\varepsilon } \right| = \varepsilon ,$$ тобто $$P\left\{ {\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} - n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon } \right\} = 0.$$
• Якщо ж виконується нерівність \(\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} + n{\alpha _n}} \right| \ge \varepsilon \), то аналогічно отримуємо $$ P\left\{ {\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} + n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon } \right\} = 0. $$

Таким чином, події \(\left\{ {\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} - n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon } \right\}\) та \(\left\{ {\frac{1}{n}\left| {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} + n{\alpha _n}} \right| < \varepsilon } \right\}\) несумісні (одночасно відбутись не можуть), тому один із двох доданків у правій частині рівності (2) перетвориться на 0, а це означатиме, що ймовірність у лівій частині рівності (2) не перевищуватиме \(\frac{1}{2}\) для зазначеного вище \(\varepsilon = \frac{\alpha }{2} < {\alpha _n}\) при довільному \(n > 1\): $$ P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} } \right| < \varepsilon } \right\} \le \frac{1}{2}, $$ а це в свою чергу означатиме, що рівність (1) тоді не виконуватиметься, тобто для нашої послідовності ЗВЧ не матиме місця.

Відповідь: ЗВЧ не застосовний до даної послідовності випадкових величин.