Умова

Кожна з незалежних випадкових величин ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ може набувати одного з двох рівноможливих значень: $P\left\{{\xi }_1=\pm {\alpha }_1\right\}=\frac{1}{2}$, $P\left\{{\xi }_2=\pm {\alpha }_2\right\}=\frac{1}{2},\dots$ При цьому $\mathrm{\forall }n\ge 1$ ${\alpha }_n>\alpha >0$. Чи застосовний до цієї послідовності ЗВЧ?

Розв’язок

Очевидно, що $\mathrm{\forall }n\ge 1$ $M{\xi }_n=\frac{1}{2}n{\alpha }_n+\frac{1}{2}\left(-n{\alpha }_n\right)=0$ і тоді стандартний запис виконання ЗВЧ $$\mathrm{\forall }\epsilon >0\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{\mathrm{k}=1}^n{\xi }_k-\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}M{\xi }_k\right|<\epsilon \right\}=1$$ набуває виду $$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\forall }\epsilon >0\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k\right|<\epsilon \right\}=1.\end{array}$$

Застосуємо до ймовірності $P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k\right|<\epsilon \right\}$ формулу повної ймовірності для двох гіпотез $H_1=\left\{{\xi }_n=n{\alpha }_n\right\}$ та $H_2=\left\{{\xi }_n=-n{\alpha }_n\right\}$: $$\begin{array}{}\text{(2)}& P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k\right|<\epsilon \right\}=\frac{1}{2}P\left\{\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k+n{\alpha }_n\right|<\epsilon \right\}+\frac{1}{2}P\left\{\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k-n{\alpha }_n\right|<\epsilon \right\}.\end{array}$$

Розглянемо $\epsilon =\frac{\alpha }{2}$. Для такого $\epsilon$ буде виконуватись нерівність $0<\epsilon <{\alpha }_n$ для довільного $n>1$.

• Якщо виконується нерівність $\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k+n{\alpha }_n\right|<\epsilon$, то $$\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k-n{\alpha }_n\right|=\left|\frac{1}{n}\left(\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k+n{\alpha }_n\right)-2{\alpha }_n\right|>\left|\epsilon -2\epsilon \right|=\epsilon ,$$ тобто $$P\left\{\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k-n{\alpha }_n\right|<\epsilon \right\}=0.$$
• Якщо ж виконується нерівність $\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k+n{\alpha }_n\right|\ge \epsilon$, то аналогічно отримуємо $$P\left\{\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k+n{\alpha }_n\right|<\epsilon \right\}=0.$$

Таким чином, події $\left\{\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k-n{\alpha }_n\right|<\epsilon \right\}$ та $\left\{\frac{1}{n}\left|\sum _{k=1}^{n-1}{\xi }_k+n{\alpha }_n\right|<\epsilon \right\}$ несумісні (одночасно відбутись не можуть), тому один із двох доданків у правій частині рівності (2) перетвориться на 0, а це означатиме, що ймовірність у лівій частині рівності (2) не перевищуватиме $\frac{1}{2}$ для зазначеного вище $\epsilon =\frac{\alpha }{2}<{\alpha }_n$ при довільному $n>1$: $$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k\right|<\epsilon \right\}\le \frac{1}{2},$$ а це в свою чергу означатиме, що рівність (1) тоді не виконуватиметься, тобто для нашої послідовності ЗВЧ не матиме місця.

Відповідь: ЗВЧ не застосовний до даної послідовності випадкових величин.