Нехай $X$ та $Y$ – випадкові величини із щільностями $f_X(x)$ та $f_Y(y)$ відповідно. Відомо, що $Y$ є монотонно зростаючою функцією від $X$: $$Y=\phi (X).$$ Знайти функцію $\phi$.

Оскільки $\phi$ – монотонно зростаюча функція, то існує обернена до неї ${\phi }^{-1}$ і при цьому $X={\phi }^{-1}(Y)$. Зв'язок між функціями розподілу випадкових величин $X$ та $Y$ досить очевидний: $$F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{{\phi }^{-1}(Y)\le x\}=P\{Y\le \phi (x)\}=F_Y(\phi (x)).(1)$$ Оскільки $F_Y(y)$ монотонна і неперервна (як функція розподілу абсолютно неперервної випадкової величини) на області можливих значень випадкової величини $Y$, то існує обернена до неї функція $F_Y^{-1}(y)$ (для $y\in (0,1)$), тому із (1) випливає: $$\phi (x)=F_Y^{-1}(F_X(x))$$

Відповідь: $\phi (x)=F_Y^{-1}(F_X(x))$, де $F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(x)dx$ і $F_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{y}{\int }}{f}_Y(y)dy$.