Випадкова величина \(\xi\) може набувати лише значень \(x_1, x_2, ..., x_m\), а випадкова величина \(\eta\) – значень \(y_1, y_2, ..., y_n\). Випадкові величини \(\xi^i\) та \(\eta^j\) при \(i = \overline{1,m-1}\) та \(j = \overline{1,n-1}\) некорельовані, тобто \(M\xi^i \eta^j = M\xi^i M\eta^j\). Довести, що \(\xi\) та \(\eta\) незалежні.

Розглянемо поліноми \(f(x) = \sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {{a_i}{x^i}} \) та \(g(y) = \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{b_j}{y^j}} \) зі степенями не більше \(m-1\) та \(n-1\) відповідно. Покажемо, що \[Mf(\xi )g(\eta ) = Mf(\xi )Mg(\eta ).\]

Дійсно, за лінійністю математичного сподівання та за умовою задачі \[Mf(\xi )g(\eta ) = M\left( {\sum\limits_{\scriptstyle0 \le i \le m - 1\atop \scriptstyle0 \le j \le n - 1} {{a_i}{b_j}{\xi ^i}{\eta ^j}} } \right) = \sum\limits_{\scriptstyle0 \le i \le m - 1\atop \scriptstyle0 \le j \le n - 1} {{a_i}{b_j}M{\xi ^i}{\eta ^j}} = \sum\limits_{\scriptstyle0 \le i \le m - 1\atop \scriptstyle0 \le j \le n - 1} {{a_i}{b_j}M{\xi ^i}M{\eta ^j}} = \] \[ = \left( {\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {{a_i}M{\xi ^i}} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{b_j}M{\eta ^j}} } \right) = Mf(\xi )Mg(\eta ).\] Для кожних \(i = \overline{1,m - 1}\) та \(j = \overline{1,n - 1}\) знайдемо такі поліноми \({f_i}(x)\) та \({g_j}(x)\), що \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_i}(\xi ) = 1,}&{\text{якщо }\xi = {x_i}}\\ {{f_i}(\xi ) = 0,}&{\text{якщо }\xi \ne {x_i}} \end{array}} \right.\] та \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_j}(\eta ) = 1,}&{\text{якщо }\eta = {y_j}}\\ {{g_j}(\eta ) = 0,}&{\text{якщо }\eta \ne {y_j}} \end{array}} \right..\]

Тоді будемо мати наступні рівності: \[P\{{f_i}(\xi ) = 1\} = P\{\xi = {x_i}\}\;\;і\;\;P\{{g_j}(\eta ) = 1\} = P\{\eta = {y_j}\}.\]

Отже, за значеннями в \(m\) точках потрібно побудувати поліном \({f_i}(x)\). Зробимо це за допомогою інтерполяційного поліному Лагранжа \[\sum\limits_{t = 0}^m {\left( {{z_t} \cdot \frac{{\prod\limits_{\scriptstyle k = 1\atop k \ne t}^m {\left( {x - {x_k}} \right)} }}{{\prod\limits_{\scriptstyle k = 1\atop k \ne t}^m {\left( {{x_t} - {x_k}} \right)} }}} \right)} ,\] де \({z_t}\) – значення полінома у точках \({x_t}\). В нашому випадку \({z_t} = 1\) при \(t=i\), і \({z_t} = 0\) в інших точках \(x\). Підставимо значення \({z_t}\) і отримаємо поліном \[{f_i}(x) = \prod\limits_{\scriptstyle k = 1\atop \scriptstyle k \ne i}^m {\left( {x - {x_k}} \right)} \Bigg/ \prod\limits_{\scriptstyle k = 1\atop \scriptstyle k \ne i}^m {\left( {{x_i} - {x_k}} \right)} \] степеня не більше \(m-1\). Аналогічно розглянемо поліном \[{g_j}(x) = \prod\limits_{\scriptstyle k = 1\atop \scriptstyle k \ne j}^n {\left( {y - {y_k}} \right)} \Bigg/ \prod\limits_{\scriptstyle k = 1\atop \scriptstyle k \ne j}^n {\left( {{y_j} - {y_k}} \right)}.\] Його степінь не більший за \(n-1\). Тоді з визначення математичного сподівання для дискретної випадкової величини \({f_i}(\xi )\) маємо \[M{f_i}(\xi ) = 0 \cdot P\{ {f_i}(\xi ) = 0\} + 1 \cdot P\{ {f_i}(\xi ) = 1\} = P\{\xi = {x_i}\}.\]

Аналогічно \[M{g_j}(\eta ) = P\{\eta = {y_j}\}\;\;та\;\;Mf_i (\xi ){g_j}(\eta ) = P\{\xi = {x_i},\eta = {y_j}\}.\] З цих рівностей та обмежень на степені поліномів випливає \[P\{\xi = {x_i},\eta = {y_j}\} = M{f_i}(\xi ){g_j}(\eta ) = M{f_i}(\xi )M{g_j}(\eta ) = P\{\xi = {x_i}\} P\{\eta = {y_j}\},\] тобто величини \(\xi\) та \(\eta\) незалежні, що і треба було довести.