Умова

Проводиться стрільба з великої відстані по круглій мішені. Нехай \({p_1}\) і \({p_2}\) ймовірності попадання стріли в області мішені з площами \({S_1}\) і \({S_2}\) відповідно, тоді \(\dfrac{{{p_1}}}{{{p_2}}} = \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\). Промахів немає. Мішень розділена концентричними колами на 10 областей. Причому сусідні кола рівновіддалені один від одного. Центральна область є кругом з радіусом, рівним відстані між колами, і попадання в нього оцінюється в 10 очок. Попадання в прилегле до нього кільце оцінюється в 9 очок, в наступне - 8 очок, і так далі до 1 очка для останнього кільця. Знайти наближене значення ймовірності того, що при 100 незалежних пострілах буде набрано від 360 до 430 очок.

Розв’язок

Обчислимо ймовірності попадання стріли в кожне із утворених кілець. Площа круга радіуса \(r\) дорівнює \(\pi {r^2}\). Позначимо відстань між колами через \(d\). Легко порахувати, що площа \(k\)-го кільця дорівнює $$\pi {d^2}\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}} \right) = \pi {d^2}\left( {2k + 1} \right).$$

За нульове кільце приймається центральна частина круга, а за дев’яте – останнє кільце. Площа всієї мішені дорівнює \(100\pi {d^2}\). Тоді ймовірність попадання в \(k\)-е кільце дорівнює $$\left( {2k + 1} \right)/100, \qquad k = 0,1,2,...,9.$$

Нехай \(X\) – випадкова величина, яка дорівнює числу очок, набраних при одному пострілі. Тоді закон розподілу \(X\) задається наступною таблицею:

\[ \qquad x_i \qquad \]	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
\[ \qquad p_i \qquad \]	\[ \frac{1}{100} \]	\[ \frac{3}{100} \]	\[ \frac{5}{100} \]	\[ \frac{7}{100} \]	\[ \frac{9}{100} \]	\[ \frac{11}{100} \]	\[ \frac{13}{100} \]	\[ \frac{15}{100} \]	\[ \frac{17}{100} \]	\[ \frac{19}{100} \]

Обчислимо математичне сподівання і дисперсію випадкової величини \(X\): \[MX = \sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i} {p_i}} = 3.85,\] \[M{X^2} = \sum\limits_{i = 1}^{10} {x_i^2 {p_i} = 20.5}, \] \[DX = M{X^2} - {\left( {MX} \right)^2} = 5.5275.\]

Нехай \({X_l}\) – випадкова величина, яка дорівнює числу очок, набраних при \(l\)-ому пострілі. Тоді \({\mu _n} = \sum\limits_{l = 1}^n {{X_l}} \) – випадкова величина, яка дорівнює сумарному числу очок при \(n\) пострілах. Оскільки усі випадкові величини \({X_l}\) однаково розподілені (вони розподілені так само, як і випадкова величина \(X\)), то \[M{\mu _n} = M\sum\limits_{l = 1}^n {{X_l}} = \sum\limits_{l = 1}^n {M{X_l}} = \sum\limits_{l = 1}^n {MX} = nMX,\] \[M{\mu _{100}} = 100 MX = 100 3.85 = 385.\]

Відзначимо, що усі випадкові величини \({X_l}\) не просто однаково розподілені, але й незалежні (!), що дає змогу обчислити дисперсію суми як суму дисперсій: \[D{\mu _n} = D\sum\limits_{l = 1}^n {{X_l}} = \sum\limits_{l = 1}^n {D{X_l}} = \sum\limits_{l = 1}^n {DX} = n DX,\] \[D{\mu _{100}} = 100 DX = 552.75\] Застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа, за якою \[P\left( {a \le {\mu _{100}} \le b} \right) \approx \Phi \left( {\frac{{b - M{\mu _{100}}}}{{\sqrt {D{\mu _{100}}} }}} \right) - \Phi \left( {\frac{{a - M{\mu _{100}}}}{{\sqrt {D{\mu _{100}}} }}} \right), \] де \(\Phi \left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^x {{e^{ - {t^2}/2}}} dt\) – функція Лапласа (табульована).

Вид наведеної теореми Муавра-Лапласа дещо відрізняється від класичного (стандартного) і по суті є ближчим до Центральної Граничної Теореми через те, що доданки \({X_l}\) зараз не мають бернуллієвський розподіл. В нашому випадку для \(a = 360\), \(b = 430\), тож отримаємо \[P\left( {360 \le {\mu _n} \le 430} \right) \approx \Phi \left( {\frac{{430 - 385}}{{\sqrt {552.75} }}} \right) - \Phi \left( {\frac{{360 - 385}}{{\sqrt {552.75} }}} \right) \approx \] \[ \approx \Phi \left( {1.914} \right) - \Phi \left( { - 1.063} \right) = \Phi \left( {1.914} \right) - \left( {1 - \Phi \left( {1.063} \right)} \right) = \] \[ = {\rm{0}}{\rm{.972}} - \left( {1 - {\rm{0}}{\rm{.856}}} \right) = 0.828.\]

Відповідь: 0.828.