Умова

Студент Ха Ву не ходить на пари, але кожної п’ятниці відвідує один із трьох клубів. Ймовірність того, що він піде в \(i\)-ий клуб становить \({p_i}\) \((i = \overline {1,3} ).\) Саме в цей день у кожному клубі можна стати обраним, причому ймовірність стати обраним в \(i\)-ому клубі становить \({a_i}\). Обраний повинен пройти обряд. У перших двох клубах обряд полягає в тому, що обраний викурює одну за одною «трубки миру». Після викурювання кожної трубки він бачить або літаючого крокодила, або зеленого слоника, причому ці події рівноймовірні. Вважається, що обраний пройшов обряд, якщо три крокодили підряд з’являться раніше, ніж два зелені слоники, інакше обряд вважається непройденим. У третьому клубі вважається, що обраний автоматично пройшов обряд. Відомо, що після походу в один з клубів Ха Ву пройшов обряд. Яка ймовірність того, що він пішов у перший клуб?

Розв’язок

Нехай подія \(A\) полягає у тому, що Ха Ву пройшов обряд, подія \({H_i}\) – у тому, що Ха Ву пішов в \(i\)-ий клуб. Нехай \({p^*}\) – ймовірність пройти обряд, що проходить у перших двох клубах. Тоді \(P(A|{H_i}) = {a_i} \cdot {p^*}, ~ i = \overline {1,2} ;\) \(P(A|{H_3}) = {a_3},\) де $$P({H_i}) = {p_i}, \quad i = \overline {1,3} .$$ За формулою повної ймовірності $$P(A) = \sum\limits_{i = 1}^3 {P(A|{H_i})P({H_i})} = {p^*}({a_1}{p_1} + {a_2}{p_2}) + {a_3}{p_3}.$$ За формулою Байєса $$P({H_i}|A) = \frac{{P(A|{H_i}) \cdot P({H_i})}}{{P(A)}}$$ знайдемо шукану ймовірність: \[P({H_1}|A) = \frac{{P(A|{H_1}) \cdot P({H_1})}}{{P(A)}} = \frac{{{a_1}{p^*}{p_1}}}{{{p^*}({a_1}{p_1} + {a_2}{p_2}) + {a_3}{p_3}}}.\] Тепер знайдемо значення \({p^*}.\) Розглянемо послідовності з нулів та одиниць, де на \(i\)-ому місці стоїть 0 тоді і тільки тоді, коли після \(i\)-ої викуреної трубки миру Ха Ву побачить літаючого крокодила. Відповідно на \(i\)-ому місці стоїть 1 тоді і тільки тоді, коли після \(i\)-ої викуреної трубки миру Ха Ву побачить зеленого слоника. Покажемо два способи для знаходження значення \({p^*}.\)

1 спосіб

Нехай \(X(i)\) – кількість таких послідовностей довжиною \(i\), які закінчуються на \(000\), в них більше ніде не зустрічаються три нулі поспіль і взагалі ніде не зустрічається дві одиниці поспіль. Зрозуміло, що \(X(1) = X(2) = 0.\) Кількість усіх можливих послідовностей складає \({2^n},\) де \(n\) – довжина послідовності. Тоді шукана ймовірність становить: $${p^*} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{{X(i)}}{{{2^i}}}}.$$

Нехай \(A(n),\) \(B(n)\) та \(C(n)\) – кількості вищезгаданих послідовностей з нулів та одиниць довжини \(n\), що починаються з \(00,\) \(01\) та \(10\) відповідно. Запишемо очевидні рівності, які випливають з побудови послідовності: $$A(n + 1) = B(n), \qquad B(n + 1) = C(n), \qquad C(n + 1) = A(n) + B(n).$$ Використавши одержані рівності, можна записати наступні: $$ A(n + 2) = C(n), \qquad B(n + 2) = A(n) + B(n), \qquad C(n + 2) = B(n) + C(n), $$ $$A(n + 3) = A(n) + B(n), \qquad B(n + 3) = B(n) + C(n), \qquad C(n + 3) = A(n) + B(n) + C(n).$$ Тоді, очевидно, $$ X(n + 3) = A(n + 3) + B(n + 3) + C(n + 3) = 2A(n) + 3B(n) + 2C(n) = X(n + 1) + X(n).$$ Отже, одержали рекурентну послідовність з початковими значеннями \(X(1) = X(2) = 0\) та \(X(3) = 1.\) Перепишемо формулу для \({p^*}\) наступним чином: $${p^*} = \sum\limits_{i = 3}^\infty {\frac{{X(i)}}{{{2^i}}}} ,$$ $$\frac{{{p^*}}}{4} = \sum\limits_{i = 3}^\infty {\frac{{X(i)}}{{{2^{i + 2}}}}} = \frac{{X(3)}}{{{2^5}}} + \sum\limits_{i = 3}^\infty {\frac{{X(i + 1)}}{{{2^{i + 3}}}}} ,$$ $$\frac{{{p^*}}}{8} = \sum\limits_{i = 3}^\infty {\frac{{X(i)}}{{{2^{i + 3}}}}} .$$ Додавши \(\frac{{{p^*}}}{4}\) та \(\frac{{{p^*}}}{8},\) одержимо $$\frac{{{p^*}}}{4} + \frac{{{p^*}}}{8} = \frac{{X(3)}}{{{2^5}}} + \sum\limits_{i = 3}^\infty {\frac{{X(i) + X(i + 1)}}{{{2^{i + 3}}}}} .$$ Скористаємося рекурентною послідовністю для \(X(n)\) і замінимо \(X(i) + X(i + 1)\) на \(X(i + 3)\), одержимо $$\frac{{{p^*}}}{4} + \frac{{{p^*}}}{8} = \frac{{X(3)}}{{{2^5}}} + \sum\limits_{i = 3}^\infty {\frac{{X(i + 3)}}{{{2^{i + 3}}}} = } \frac{{X(3)}}{{{2^5}}} + \sum\limits_{i = 6}^\infty {\frac{{X(i)}}{{{2^i}}}} = \frac{{X(3)}}{{{2^5}}} + {p^*} - \frac{{X(3)}}{{{2^3}}} - \frac{{X(4)}}{{{2^4}}} - \frac{{X(5)}}{{{2^5}}}.$$ Обчисливши значення \(X(i),\;\; i = \overline {3,5} \), та підставивши їх в останню рівність, знайдемо $${p^*} = 0.3.$$
2 спосіб

Позначимо через \({P_i}\;(i = \overline {0,1} )\) ймовірності того, що почата з числа \(i\) послідовність закінчується на \(000\), причому в них більше ніде не зустрічаються три нулі поспіль і взагалі ніде не зустрічається дві одиниці поспіль.

Розглянемо спершу послідовність, що починається з числа \(0.\) Її друге та третє числа можуть приймати значення \(0\) та \(1\) з ймовірностями \( \dfrac{1}{2} \). Розглянемо три можливі випадки:
1) друге та третє числа приймають нульові значення, тоді з ймовірністю \(1\) дана послідовність задовольняє умову;
2) друге число приймає значення \(0,\) а третє – \(1,\) тоді ймовірність, що така послідовність задовольнятиме умову становить \({P_1}\);
3) друге число приймає значення \(1,\) тоді ймовірність, що така послідовність задовольнятиме умову становить \({P_1}\).
Виходячи з вищенаведених міркувань, можна записати $${P_0} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2}{P_1}} \right) + \frac{1}{2}{P_1} = \frac{1}{4} \cdot (3{P_1} + 1).$$ Розглянемо тепер послідовність, що починається з \(1.\) Якщо її друге число прийматиме значення \(1,\) то вона задовольнятиме умов уз нульовою ймовірністю. Якщо ж її другим числом буде \(0,\) то вона задовольнятиме умову з ймовірністю \({P_0}.\) Тому маємо $${P_1} = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot {P_0} = \frac{1}{2} \cdot {P_0}.$$ Тепер розглянемо послідовність у загальному випадку. Її перше число приймає значення \(0\) та \(1\) з ймовірностями \( \dfrac{1}{2} \). Тому $${p^*} = \frac{1}{2} \cdot {P_0} + \frac{1}{2} \cdot {P_1}.$$ Одержані три рівняння утворюють систему. Розв'язавши її, знайдемо значення \({p^*}:\) $${p^*} = 0.3.$$
Після підстановки знайденого значення \({p^*}\) у формулу для \(P({H_1}|A),\) одержимо кінцевий результат: $$P({H_1}|A) = \frac{{0.3{a_1}{p_1}}}{{0.3 \cdot ({a_1}{p_1} + {a_2}{p_2}) + {a_3}{p_3}}}.$$

Відповідь: \(\dfrac{{0.3{a_1}{p_1}}}{{0.3 \cdot ({a_1}{p_1} + {a_2}{p_2}) + {a_3}{p_3}}}.\)