Сторінка Шарапова М.М.

Лема Бореля-Кантеллі

Високий рівень

Лема (Бореля-Кантеллі) Нехай є послідовність подій подій $\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}$ і через ${p_k} = P({A_k})$ позначено їхні ймовірності.
(A) Якщо ряд $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{p_k}} $ збігається, то з ймовірністю 1 може відбутися лише скінченна кількість подій з послідовності подій $\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}$.
(B) Якщо ж події $\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}$ незалежні та ряд $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{p_k}} $ розбігається, то з імовірністю 1 відбувається нескінченна кількість подій з послідовності $\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}$.

Умова

Нехай ${\xi _1},{\xi _{2,}}...$ – незалежні однаково розподілені випадкові величини, ${S_n} = {\xi _1} + {\xi _2} + ... + {\xi _n}$. Довести, що якщо має місце рівність $$P\left( {\frac{{{S_n}}}{n} \to a,\;n \to \infty } \right) = 1, \qquad a \in \mathbb{R},$$ то у випадкових величин ${\xi _i}$ існує математичне сподівання $M{\xi _i} = a$.

Доведення

Для тих $\omega $, для яких має місце збіжність $\dfrac{{{S_n}\left( \omega \right)}}{n} \to a$, маємо: $$\frac{{{\xi _n}\left( \omega \right)}}{n} = \frac{{{S_n}\left( \omega \right)}}{n} - \frac{{n - 1}}{n}\frac{{{S_{n - 1}}\left( \omega \right)}}{{n - 1}} \to 0, \qquad n \to \infty. \tag{1}$$

Подія, яка містить такі $\omega $, для яких (1) не виконується, має ймовірність 0, і для кожного такого $\omega $ існує таке $\varepsilon $, що $\left| {\frac{{{\xi _n}\left( \omega \right)}}{n}} \right| \ge \varepsilon $ для нескінченної кількості $n$. Зокрема, подія $A$, яка містить такі $\omega $, для яких виконується $\left| {\frac{{{\xi _n}\left( \omega \right)}}{n}} \right| \ge 1$ для нескінченної кількості $n$, також має нульову ймовірність. Цю подію $A$ можна представити у вигляді $$A = \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}, \qquad {A_n} = \left\{ {\omega :\left| {\frac{{{\xi _n}\left( \omega \right)}}{n}} \right| \ge 1} \right\}.$$

Оскільки події ${A_n}$ є незалежними (бо ${\xi _n}$ незалежні), то за лемою Бореля-Кантеллі (В) $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {P\left( {{A_n}} \right)} < \infty . \tag{2} $$ Сума ряду (2) за рахунок однакової розподіленості ${\xi _n}$ дорівнює $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {P\left( {{A_n}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {P\left( {\left| {{\xi _n}} \right| \ge n} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {P\left( {\left| {{\xi _1}} \right| \ge n} \right)} ,$$ звідки випливає, що $\sum\limits_{n = 1}^\infty {P\left( {\left| {{\xi _1}} \right| \ge n} \right) < \infty } $, що тягне скінченність $M{\xi _1}$, бо $$\int\limits_\mathbb{R} {\left| x \right|dF\left( x \right)} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\int\limits_{k \le \left| x \right| < k + 1}^{} {\left| x \right|} } dF\left( x \right) < \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {k + 1} \right)P\left( {k \le \left| \xi \right| < k + 1} \right)} = $$ $$= 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {kP\left( {k \le \left| \xi \right| < k + 1} \right) = 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {P\left( {\left| \xi \right| \ge k} \right)} } .$$

За посиленим законом великих чисел для незалежних однаково розподілених випадкових величин із скінченним математичним сподіванням має місце $$P\left( {\frac{{{S_n}}}{n} \to M{\xi _1},\;\;n \to \infty } \right) = 1,$$ звідки отримуємо $a = M{\xi _1}$, що й треба було довести.