Умова

Нехай \( \xi_n \xrightarrow{\;\; P \;\;} 0 \). Довести, що \( \forall \xi \), такого, що \( \xi \) незалежна з довільним \( \xi_n \), має місце збіжність \[ \xi \cdot \xi_n \xrightarrow{\;\; P \;\;} 0. \]

Розв’язок

За умовою \( \xi_n \xrightarrow{\;\; P \;\;} 0 \), тобто, за визначенням \( \forall \varepsilon > 0 \;\; \lim\limits_{n \to \infty} P\{|\xi_n| > \varepsilon\} = 0 \), тобто, за визначенням границі \( \forall \varepsilon_1 > 0 \; \forall \delta_1 > 0 \; \exists N_1: \; \forall n > N_1 \): \[ P\{|\xi_n| > \varepsilon_1\} < \delta_1. \qquad (1) \]

Треба довести, що \( \xi \cdot \xi_n \xrightarrow{\;\; P \;\;} 0 \), тобто, що \( \forall \varepsilon > 0 \;\; \lim\limits_{n \to \infty} P\{|\xi \xi_n| > \varepsilon\} = 0 \), тобто, що \( \forall \varepsilon > 0 \; \forall \delta > 0 \; \exists N: \; \forall n > N \): \[ P\{|\xi \xi_n| > \varepsilon\} < \delta. \qquad (2) \]

Нехай для \( \delta_2 > 0 \), константа \( C > 0 \) така, що \[ P\{|\xi| > C\} < \delta_2. \qquad (3) \] (Подумайте, чому така константа існує. Спробуйте довести снування такої константи строго математично.) Тоді за формулою повної ймовірності

\[ P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon\} = P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon, \xi = 0\} + P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon, 0 < |\xi| \le C\} + P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon, |\xi| > C\} = \] \[ = 0 + P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon, 0 < |\xi| \le C\} + P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon, |\xi| > C\} \le \] \[ \le P\left\{|\xi_n| > \frac{\varepsilon}{C}\right\} + P\{|\xi| > C\} \qquad (4) \]

Покладаючи \[ \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{C} \] із (1) та (3) нерівність (4) перетворюється на \[ P\{|\xi \cdot \xi_n| > \varepsilon\} \le \delta_1 + \delta_2 \qquad (5) \] і якщо покласти \( \delta_1 = \delta_2 = \delta / 2 \), то (5) перетвориться на (2), що і доводить задачу.

Зауваження: ми використали такий варіант формули повної ймовірності: \[ P(B) = \sum_k P(B \cap H_k), \] де в якості повної групи подій \( \{H_k |\; k = 1,2,3\} \) взяли події \( \{\xi = 0\}, \{0 < |\xi| \le C\}, \{|\xi| > C\}. \)