Сторінка Шарапова М.М.

Лема Бореля-Кантеллі

Початковий рівень

Лема (Бореля-Кантеллі) Нехай є послідовність подій подій \(\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}\) і через \({p_k} = P({A_k})\) позначено їхні ймовірності.
(A) Якщо ряд \(\sum\limits_{k = 1}^\infty {{p_k}} \) збігається, то з ймовірністю 1 може відбутися лише скінченна кількість подій з послідовності подій \(\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}\).
(B) Якщо ж події \(\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}\) незалежні та ряд \(\sum\limits_{k = 1}^\infty {{p_k}} \) розбігається, то з імовірністю 1 відбувається нескінченна кількість подій з послідовності \(\left\{ {{A_k}| k \ge 1} \right\}\).

Умова

Будемо проводити експерименти і нумерувати їх натуральними числами. Експеримент № \(k\) полягає у тому, що із множини натуральних чисел \(\left\{ {1, \ldots ,k} \right\}\) навмання обираємо одне число і записуємо його у зошит (звісно, у такому зошиті має бути нескінченна кількість сторінок). Яка ймовірність того, що число 1 у цьому зошиті буде записано нескінченно багато раз?

Розв’язок

Нехай подія \({A_k}\) полягає у тому, що на \(k\)-му експерименті ми обрали і записали до зошита число 1. За класичним визначенням ймовірності \(P\left( {{A_k}} \right) = \frac{1}{k}\). Результати експериментів є незалежними, а ряд \(\sum\limits_{k = 1}^\infty {{p_k}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k}} \), як відомо, є розбіжним, тому за лемою Бореля-Кантеллі (В) з ймовірністю 1 відбудеться нескінченна кількість подій \({A_k}\), тобто, число 1 у зошиті буде записано нескінченну кількість раз з ймовірністю 1.

Відповідь: 1.

Зауваження: подумайте, а яка ймовірність того, що кількість двох записаних підряд цифр 1 буде нескінченною?