Задача 1
Умова

Закон розподілу дискретного випадкового вектора \((\xi, \eta)\) задано таблицею:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c} {\xi} \diagdown {\eta} & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 1 & 0.10 & 0.25 & 0.30 & 0.15 \\ 2 & 0.10 & 0.05 & 0.00 & 0.05 \end{array}\) Знайти \(M\xi\), \(D\xi\), \(M\eta\), \(D\eta\), коваріацію \(cov(\xi, \eta)\) та коефіцієнт кореляції \(r = r(\xi, \eta)\).

Розв’язок

Просумуємо ймовірності у таблиці по рядках і стовбцях:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {\xi} \diagdown {\eta} & -1 & 0 & 1 & 2 & p_i \\ \hline 1 & 0.1 & 0.25 & 0.3 & 0.15 & 0.8 \\ 2 & 0.1 & 0.05 & 0 & 0.05 & 0.2 \\ \hline q_i & 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0.2 & 1 \end{array}\) Тоді \[M\xi = \sum\limits_i {{x_i}{p_i}} = 1 \cdot 0.8 + 2 \cdot 0.2 = 1.2,\] \[M\eta = \sum\limits_j {{y_j}{q_j}} = - 1 \cdot 0.2 + 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.2 = 0.5,\] \[M{\xi ^2} = \sum\limits_i {x_i^2{p_i}} = {1^2} \cdot 0.8 + {4^2} \cdot 0.2 = 0.6,\] \[D\xi = M{\xi ^2} - {(M\xi )^2} = 1.6 - {(1.2)^2} = 0.16,\] \[M{\eta ^2} = \sum\limits_j {y_j^2{q_j}} = {1^2} \cdot 0.2 + {0^2} \cdot 0.3 + {1^2} \cdot 0.3 + {4^2} \cdot 0.2 = 1.3,\] \[D\eta = M{\eta ^2} - {(M\eta )^2} = 1.3 - {(0.5)^2} = 1.05.\] \[M(\xi \eta ) = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{x_i}{y_j}{p_{ij}}} } = 1 \cdot ( - 1) \cdot 0.1 + 1 \cdot 0 \cdot 0.25 + 1 \cdot 1 \cdot 0.3 +\] \[+ 1 \cdot 2 \cdot 0.15 + 2 \cdot ( - 1) \cdot 0.1 + 2 \cdot 0 \cdot 0.05 + + 2 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \cdot 0.05 = 0.5,\] \[\cos (\xi ,\eta ) = M(\xi \eta ) - M\xi \cdot M\eta = 0.5 - 1.2 \cdot 0.5 = 0.5 - 0.6 = - 0.1.\] \[r = r(\xi ,\eta ) = \frac{{cov(\xi ,\eta )}}{{\sqrt {D\xi D\eta } }} = \frac{{ - 0.1}}{{\sqrt {0.4 \cdot 1.025} }} = - 0.244,\]
Відповідь: \(M\xi=1.2\), \(M\eta=0.5\), \(D\xi=0.16\), \(D\eta=1.05\), \(cov(\xi, \eta)=-0.1\), \(r=-0.244.\)

---

Задача 2
Умова

Двовимірний випадковий вектор \((\xi, \eta)\) рівномірно розподілений у квадраті \(H = \{(x,y): 0 < x < T, 0 < y < T\}\), тобто має щільність \[f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{T^2}, & (x,y) \in H \\ 0, & (x,y) \notin H \end{cases}\] Знайти \(M\xi\), \(D\xi\), \(M\eta\), \(D\eta\), \(cov(\xi, \eta)\).

Розв’язок \[M\xi = \iint\limits_H {xf(x,y)dxdy} = \iint\limits_H {x\frac{1}{{{T^2}}}dxdy} = \frac{1}{{{T^2}}}\int\limits_0^T {xdx} \int\limits_0^T {dy} = \frac{1}{{{T^2}}}\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^T \cdot T = \frac{1}{{{T^2}}}\frac{{{T^3}}}{2} = \frac{T}{2},\] \[M{\xi ^2} = \iint\limits_H {{x^2}f(x,y)dxdy} = \iint\limits_H {{x^2}\frac{1}{{{T^2}}}dxdy} = \frac{1}{{{T^2}}}\int\limits_0^T {{x^2}dx} \int\limits_0^T {dy} = \] \[ = \frac{1}{{{T^2}}}\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^T \cdot T = \frac{1}{{{T^2}}}\frac{{{T^4}}}{3} = \frac{{{T^2}}}{3},\] \[D\xi = M{\xi ^2} - {(M\xi )^2} = \frac{{{T^2}}}{3} - {\left( {\frac{T}{2}} \right)^2} = \frac{{{T^2}}}{3} - \frac{{{T^2}}}{4} = \frac{{{T^2}}}{{12}},\] Аналогічно \(M\eta = \frac{T}{2}\), \(D\eta = \frac{{{T^2}}}{{12}},\) \[M(\xi \eta ) = \iint\limits_H {\xi \eta f(x,y)dxdy} = \iint\limits_H {xy\frac{1}{{{T^2}}}dxdy} = \] \[ = \frac{1}{{{T^2}}}\int\limits_0^T {xdx} \int\limits_0^T {ydy} = \frac{1}{{{T^2}}}\frac{{{T^2}}}{2} \cdot \frac{{{T^2}}}{2} = \frac{{{T^4}}}{4},\] \[cov(\xi ,\eta ) = M(\xi \eta ) - M\xi \cdot M\eta = \frac{{{T^2}}}{4} - \frac{T}{2} \cdot \frac{T}{2} = 0,\]
Відповідь: \(M\xi=\frac{T}{2}\), \(D\xi=\frac{T^2}{12}\), \(M\eta=\frac{T}{2}\), \(D\eta=\frac{T^2}{12}\), \(cov(\xi, \eta)=0.\)