Випадковий вектор \((\xi_1, \xi_2)\) має гаусівський розподіл зі щільністю \[f(x,y) = \frac{1}{{2\pi {\sigma _1}{\sigma _2}\sqrt {1 - {r^2}} }}\exp \left\{ { - \frac{1}{{2(1 - {r^2})}}\left( {\frac{{{{(x - a)}^2}}}{{\sigma _1^2}} - 2r\frac{{(x - a)(y - b)}}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} + \frac{{{{(y - b)}^2}}}{{\sigma _2^2}}} \right)} \right\}.\] Знайти розподіл суми \(\eta = {\xi _1} + {\xi _2}\).

Використаємо відому формулу, яка виражає щільність \({f_\eta }(x)\) суми \(\eta = {\xi _1} + {\xi _2}\) компонент випадкового вектора \((\xi_1, \xi_2)\) через щільність цього випадкового вектора: \[\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue}{f_\eta }(x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x - z,z)dz} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(z,x - z)dz} }}\] Тоді матимемо для нашої задачі: \[{f_\eta }(x) = \frac{1}{{2\pi {\sigma _1}{\sigma _2}\sqrt {1 - {r^2}} }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp \left\{ { - \frac{1}{{2(1 - {r^2})}}\left( {\frac{{{{(x - a)}^2}}}{{\sigma _1^2}} - 2r\frac{{(x - a)(y - b)}}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} + \frac{{{{(y - b)}^2}}}{{\sigma _2^2}}} \right)} \right\}dz}.\] Позначимо для скорочення \(v = x - a - b\), \(u = z - a\). Тоді \[{f_\eta }(x) = \frac{1}{{2\pi {\sigma _1}{\sigma _2}\sqrt {1 - {r^2}} }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp \left\{ { - \frac{1}{{2(1 - {r^2})}}\left( {\frac{{{u^2}}}{{\sigma _1^2}} - 2r\frac{{u(v - u)}}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} + \frac{{{{(v - u)}^2}}}{{\sigma _2^2}}} \right)} \right\}du}.\]

Оскільки \[2r\frac{{u(v - u)}}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} + \frac{{{{(v - u)}^2}}}{{\sigma _2^2}} = {u^2}\frac{{\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2}}{{\sigma _1^2\sigma _2^2}} - 2uv\frac{{{\sigma _1} + r{\sigma _2}}}{{\sigma _1 \sigma _2^2}} + \frac{{{v^2}}}{{\sigma _2^2}} =\] \[ = \left[ {u\frac{{\sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} - v\frac{{{\sigma _1} + r{\sigma _2}}}{{{\sigma _2}\sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}} \right]^2 + \frac{{{v^2}}}{{\sigma _2^2}}\left[ {1 - \frac{{{{({\sigma _1} + r{\sigma _2})}^2}}}{{\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2}}} \right] = \] \[ = \left[ {u\frac{{\sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} - v\frac{{({\sigma _1} + r{\sigma _2})}}{{{\sigma _2}\sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}} \right]^2 + \frac{{{v^2}(1 - r^2)}}{{\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2}},\] то, ввівши позначення \[t = \frac{1}{{\sqrt {1 - {r^2}} }}\left[ {u\frac{{\sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}{{{\sigma _1}{\sigma _2}}} - v\frac{{({\sigma _1} + r{\sigma _2})}}{{{\sigma _2}\sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}} \right],\] приводимо вираз для \({f_\eta }(x)\) до виду \[{f_\eta }(x) = \frac{{\exp \left\{ {\dfrac{{ - {v^2}}}{{2({\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2})}}} \right\}}}{{2\pi \sqrt {\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2} }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt}.\]

Оскільки \(v = x - a - b\) та \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} = \sqrt {2\pi } \), то маємо \[{f_\eta }(x) = \frac{{\exp \left\{ {\dfrac{{ - {{(x - a - b)}^2}}}{{2({\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2})}}} \right\}}}{{\sqrt {2\pi ({\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2})} }}.\]

Відповідь: \(\;\;\eta \sim N\left(a + b,\;\sigma _1^2 + 2r{\sigma _1}{\sigma _2} + \sigma _2^2\right)\).