Тепер проаналізуємо їх. Розглянемо області \(S_1, S_2, S_3, S_4\). Помітимо, що функція розподілу буде мати однаковий вид, бо область інтегрування матиме вид кута:

Отже, можемо об’єднати ці чотири області в одну: \({S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} \cup {S_4} = {T_1}\). Аналогічним чином об’єднаємо області \({S_5} \cup {S_6} = {T_2}\) та \({S_{11}} \cup {S_{12}} = {T_3}\). Тепер розглянемо області \(S_7\) та \(S_{13}\):

Помітимо, що в обох випадках маємо область обмежену \(v = - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1\), \(u = x\), \(v = y\). Отже можемо об’єднати ці дві області: \({S_7} \cup {S_{13}} = {T_4}\). Аналогічно \({S_8} \cup {S_{14}} = {T_5}\), адже це області обмежені \(v = - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1\), \(u = x\), \(v = y\) та \(v = u\). Аналогічно об’єднаємо області \(S_9\) та \(S_{10}\), адже вони обидві не залежать від \(y\) і обмежені \(v = - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1\), \(u = x\) та \(v = u\): \({S_9} \cup {S_{10}} = {T_6}\).

Позначимо також для зручності \({S_{15}} = {T_7}\), \({S_{16}} = {T_8}\), \({S_{12}} = {T_9}\), \({S_{18}} = {T_{10}}\), \({S_{19}} = {T_{11}}\), \({S_{20}} = {T_{12}}\). Отримаємо таке розбиття на області:

Знайдемо функцію розподілу для кожної з областей окремо:

1) \(x \in (-\infty, -1], y \in (-\infty, +\infty)\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {0dudv} } = 0\]

2) \(x \in (-1,1], y \in \left( { - \infty , - \sqrt {4 - {{(x - 1)}^2}} - 1} \right]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-\infty}^{-1} {\int\limits_{-\infty}^y {0dudv} } + \int\limits_{-1}^{x} {\int\limits_{-\infty}^y {0dudv} } = 0\]

3) \(x \in (1,+\infty), y \in (-\infty, -3]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-\infty}^{-1} {\int\limits_{-\infty}^y {0dudv} } + \int\limits_{-1}^{x} {\int\limits_{-\infty}^y {0dudv} } = 0\]

4) \(x \in (-1,3], y \in \left( { - \sqrt {4 - {{(x - 1)}^2}} - 1,-1} \right]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = \frac{1}{{3\pi + 2}}\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^x {\left( {y + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} = \] \[ = \left. {\int {\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} du} } \right| = \frac{1}{2}\left( {(u - 1)\sqrt { - {u^2} + 2u + 3} + 2u + 3 - 2\arcsin \left( {\frac{{1 - u}}{2}} \right)} \right)\Bigg|\] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {xy + y\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} - y + x + \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} - 1 + \frac{1}{2}(x - 1)\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 2\arcsin \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) - } \right.\] \[\left. { - \frac{1}{2}\left( { - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} } \right)\sqrt { - {{(y + 1)}^2} + 2\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 3} - 2\arcsin \left( {\frac{{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} }}{2}} \right)} \right)\Bigg|_{y < - 1} = \] \[ = \frac{{\frac{1}{2}(y + 1)\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + xy - y + x - 1 + \frac{1}{2}(x - 1)\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 2\arcsin \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) + 2\arcsin \left( {\frac{{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} }}{2}} \right)}}{{3\pi + 2}}\]

5) \(x \in (-1,3], y \in \left( { - \sqrt {4 - {{(x - 1)}^2}} - 1,\min \left\{ {x,\sqrt {4 - {{(x - 1)}^2}} - 1} \right\}} \right]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{ - 1}^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } + \int\limits_y^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^u {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {\int\limits_{ - 1}^x {\left( {u + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} + \int\limits_y^x {\left( {y + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} } \right) = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{{y^2}}}{2} + xy + x + \frac{1}{2}(x - 1)\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 2\arcsin \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) + \pi } \right)\]

6) \(x \in (-1,1], y \in (x,+\infty)\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{ - 1}^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^x {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = \frac{1}{{3\pi + 2}}\int\limits_{ - 1}^x {\left( {u + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(x - 1)\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 2\arcsin \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right) + \pi } \right)\]

7) \(x \in (1,3], y \in \left( { - \sqrt {4 - {{(x - 1)}^2}} - 1,1} \right]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-1}^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} }+\]\[+ \int\limits_y^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } + \int\limits_{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = \] \[ \begin{aligned} & \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {\int\limits_{ - 1}^x {\left( {u + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} + \int\limits_y^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\left( {y + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} + } \right. \\ & \left. {\qquad + \int\limits_{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^x {\left( {2\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} } \right)du} } \right) \end{aligned} \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {\frac{{{y^2}}}{2} + y + \frac{3}{2} + \pi + \frac{1}{2}(y + 1)\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} - 2\arcsin \left( {\frac{{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} }}{2}} \right)} \right) + \] \[ + \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {(x - 1)\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 4\arcsin \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right)} \right)\]

8) \(x \in (1,3], y \in (1,+\infty)\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-1}^1 {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^{\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1} {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} }+\] \[ + \int\limits_{1}^x {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^{\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1} {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = \frac{{2 + \pi }}{{3\pi + 2}} + \frac{2}{{3\pi + 2}}\int\limits_{1}^x {\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} du} = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {2 + \pi + (x - 1)\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 4\arcsin \left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right)} \right)\]

9) \(x \in (1,3], y \in \left( { - 3, - \sqrt {4 - {{(x - 1)}^2}} - 1} \right]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} }=\] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\left( {y + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {(y + 1)\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 4\arcsin \left( {\frac{{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} }}{2}} \right)} \right)\]

10) \(x \in (3,+\infty), y \in (-3,-1]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } =\] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\left( {y + \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} \right)du} = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( {(y + 1)\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 4\arcsin \left( {\frac{{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} }}{2}} \right)} \right)\]

11) \(x \in (3,+\infty), y \in (-1,1]\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-1}^3 {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} }+\] \[+ \int\limits_y^{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1} {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^y {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } + \int\limits_{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} + 1}^3 {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^{\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} + 1} {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = \] \[ = \frac{1}{{3\pi + 2}}\left( { - \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{3}{2} + y + 3\pi + \frac{1}{2}(y + 1)\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} - 2\arcsin \left( {\frac{{\sqrt {4 - {{(y + 1)}^2}} }}{2}} \right)} \right)\]

12) \(x \in (3,+\infty), y \in (1,+\infty)\) \[{F_{\xi_1,\xi_2}}(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x {\int\limits_{-\infty}^y {f(u,v)dudv} } = \int\limits_{-1}^3 {\int\limits_{ - \sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1}^{\sqrt {4 - {{(u - 1)}^2}} - 1} {\frac{{dudv}}{{3\pi + 2}}} } = 1.\]