Випадкова величина \( \xi \) може набувати лише значень \( x_1, x_2, ..., x_m \), а випадкова величина \( \eta \) – значень \( y_1, y_2, ..., y_n \). Випадкові величини \( \xi^i \) та \( \eta^j \) при \( i = \overline{1,m-1} \) та \( j = \overline{1,n-1} \) некорельовані, тобто \[ M\xi^i \eta^j = M\xi^i M\eta^j .\] Довести, що \( \xi \) та \( \eta \) незалежні.

Розглянемо поліноми \( f(x) = \sum\limits_{i=0}^{m-1} a_i x^i \) та \( g(y) = \sum\limits_{j=0}^{n-1} b_j y^j \) зі степенями не більше \( m-1 \) та \( n-1 \) відповідно. Покажемо, що \[ Mf(\xi)g(\eta) = Mf(\xi)Mg(\eta). \]

Дійсно, за лінійністю математичного сподівання та за умовою задачі

\[ Mf(\xi)g(\eta) = M \sum_{0 \le i \le m-1 \atop 0 \le j \le n-1} a_i b_j \xi^i \eta^j = \sum_{0 \le i \le m-1 \atop 0 \le j \le n-1} a_i b_j M \xi^i \eta^j = \sum_{0 \le i \le m-1 \atop 0 \le j \le n-1} a_i b_j M \xi^i M \eta^j = \] \[ = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} a_i b_j M \xi^i M \eta^j = \left( \sum_{i=0}^{m-1} a_i M \xi^i \right) \left( \sum_{j=0}^{n-1} b_j M \eta^j \right) = Mf(\xi)Mg(\eta). \]

Для кожних \( i = \overline{1,m-1} \) та \( j = \overline{1,n-1} \) знайдемо такі поліноми \( f_i(x) \) та \( g_j(x) \), що

\[ \begin{cases} f_i(\xi) = 1, \text{ якщо } \xi = x_i \\ f_i(\xi) = 0, \text{ якщо } \xi \ne x_i \end{cases} \qquad\text{ та }\qquad \begin{cases} g_j(\eta) = 1, \text{ якщо } \eta = y_j \\ g_j(\eta) = 0, \text{ якщо } \eta \ne y_j \end{cases} \]

Тоді будемо мати наступні рівності:

\[ P\{f_i(\xi) = 1\} = P\{\xi = x_i\} \qquad\text{ та }\qquad P\{g_j(\eta) = 1\} = P\{\eta = y_j\}. \]

Отже, за значеннями в \( m \) точках потрібно побудувати поліном \( f_i(x) \). Зробимо це за допомогою інтерполяційного поліному Лагранжа

\[ \sum_{t=0}^{m} z_t \left( \prod\limits_{\substack{k=1 \\ k \ne t}}^{m} (x - x_k) / \prod\limits_{\substack{k=1 \\ k \ne t}}^{m} (x_t - x_k) \right), \] де \( z_t \) — значення полінома у точках \( x_t \). В нашому випадку \( z_t = 1 \) при \( t = i \), і \( z_t = 0 \) в інших точках \( x_t \). Підставимо значення \( z_t \) і отримаємо поліном

\[ f_i(x) = \prod\limits_{\substack{k=1 \\ k \ne i}}^{m} (x - x_k) / \prod\limits_{\substack{k=1 \\ k \ne i}}^{m} (x_i - x_k) \] степеня не більше \( m-1 \). Аналогічно розглянемо поліном

\[ g_j(x) = \prod\limits_{\substack{k=1 \\ k \ne j}}^{n} (y - y_k) / \prod\limits_{\substack{k=1 \\ k \ne j}}^{n} (y_j - y_k). \] Його степінь не більший за \( n-1 \). Тоді з визначення математичного сподівання для дискретної випадкової величини \( f_i(\xi) \) маємо

\[ Mf_i(\xi) = 0 \cdot P\{f_i(\xi) = 0\} + 1 \cdot P\{f_i(\xi) = 1\} = P\{\xi = x_i\}. \]

Аналогічно

\[ Mg_j(\eta) = P\{\eta = y_j\} \qquad \text{ та } \qquad Mf_i(\xi)g_j(\eta) = P\{\xi = x_i, \eta = y_j\}. \] З цих рівностей та обмежень на степені поліномів випливає

\[ P\{\xi = x_i,\; \eta = y_j\} = Mf_i(\xi)g_j(\eta) = Mf_i(\xi)Mg_j(\eta) = P\{\xi = x_i\}P\{\eta = y_j\}, \] тобто величини \( \xi \) та \( \eta \) незалежні, що і треба було довести.