Умова

Випадкова величина \(X\) має стандартний гаусівський розподіл \(X \sim N(0;1)\). Знайти щільність розподілу випадкової величини \(Y = X^2\).

Розв’язок

Оскільки \(Y = X^2 \ge 0\), то і функція розподілу \(F_Y(x)\), і щільність \(f_Y(x)\) будуть дорівнювати 0 при \(x \le 0\). Для \(x > 0\) матимемо \[{F_Y}(x) = P\{ Y \le x\} = P\{ {X^2} \le x\} = P\{ \left| X \right| \le \sqrt x \} = P\{ - \sqrt x \le X \le \sqrt x \} = \] \[ = \Phi (\sqrt x ) - \Phi ( - \sqrt x ) = \Phi (\sqrt x ) - (1 - \Phi (\sqrt x )) = 2\Phi (\sqrt x ) - 1,\] де \(\Phi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^x {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} \) – функція Лапласа, це функція розподілу для \(N(0;1)\), і для неї ми використали відому властивість \(\Phi ( - x) = 1 - \Phi (x)\). Далі шукаємо щільність: \[{f_Y}(x) = \frac{d}{{dx}}{F_Y}(x) = \frac{d}{{dx}}(2\Phi (\sqrt x ) - 1) = 2\varphi (\sqrt x )\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{\varphi (\sqrt x )}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt x \sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{x}{2}}},\] де \(\varphi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}\) – щільність стандартного гаусівського розподілу \(N(0;1)\) і ми використали той факт, що \(\Phi '(x) = \varphi (x)\).

Відповідь: \(f_Y(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0, \\ \dfrac{1}{{\sqrt x \sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{x}{2}}}, & x > 0, \end{cases}\)

Зауваження: У цій задачі ми по суті розглянули частковий випадок хі-квадрат розподілу з параметром \(k = 1\). Як відомо, розподіл хі-квадрат (\({\chi ^2}\)-розподіл) з \(k\) ступенями свободи – це неперервний розподіл, що визначається як розподіл суми квадратів \(k\) незалежних випадкових величин з стандартним нормальним розподілом: \[{\chi ^2} = \xi _1^2 + ... + \xi _k^2,\qquad {\xi _i} \sim N(0,1),\;\;i = \overline {1,k} .\] Щільність цього розподілу така: \[{f_{{\chi ^2}(k)}}(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0, \\ \dfrac{{{x^{\frac{k}{2} - 1}}{e^{ - \frac{x}{2}}}}}{{\Gamma \left( {\frac{k}{2}} \right){2^{\frac{k}{2}}}}}, & x > 0, \end{cases}\] де \(\Gamma (\alpha ) = \int\limits_0^\infty {{t^{\alpha - 1}}{e^{ - t}}dx} \) – гамма-функція. Оскільки \(\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt \pi \), то при \(k = 1\): \[{f_{{\chi ^2}(1)}}(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0, \\ \dfrac{1}{{\sqrt x \sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{x}{2}}}, & x > 0, \end{cases}\] що співпадає зі знайденою раніше \({f_Y}(x)\).