Умова

Невелике місто щодня відвідують 100 туристів, які вдень ідуть обідати. Кожен з них незалежно і навмання обирає для обіду один із двох міських ресторанів. Власник одного з ресторанів бажає, щоб з ймовірністю приблизно 0.99 всі туристи, що прийшли в його ресторан, могли там одночасно пообідати. Скільки місць повинно для цього бути в його ресторані?

Розв’язок

Будемо вважати, що подія \(A\) відбулася, якщо турист завітав у ресторан зацікавленого власника. За умовою задачі \(p = P\left( A \right) = 0.5\), \(n = 100\). Нас цікавить таке найменше число відвідувачів \(m\), що ймовірність приходу більше ніж \(m\) туристів (із 100 можливих) приблизно дорівнює ймовірності переповнення ресторану \(1 - 0.99 = 0.01\).

Через \({P_n}\left( {{k_1},\left. {{k_2}} \right)} \right.\) позначимо ймовірність того, що кількість відвідувачів (із \(n\) можливих) буде знаходитись у межах від \({k_1}\) до \({k_2}\): \({P_n}\left( {{k_1},\left. {{k_2}} \right)} \right. = P\left\{ {{k_1} < {\mu _n} \le {k_2}} \right\}\). Таким чином, нас цікавить таке найменше число \(m\), що \({P_{100}}\left( {m,\left. {100} \right)} \right. \approx 0.01\). Застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа: $$ P\left. {\left\{ {a < \frac{{{\mu _n} - np}}{{\sqrt {npq} }} \le b} \right.} \right\} \to \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }} \int\limits_a^b {{e^{ - {x^2}}} dx } = \Phi \left( b \right) - \Phi \left( a \right) $$ де $$\Phi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }} \int\limits_{ - \infty }^x {{e^{ - {t^2}}} dt }$$ функція Лапласа (табульована) та \(q = 1 - p\). В нашій задачі ця теорема набуває такого виду: $${P_n}\left( {{k_1},\left. {{k_2}} \right)} \right. \approx \Phi \left( {\frac{{{k_2} - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right) - \Phi \left( {\frac{{{k_1} - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right).$$ У нашому випадку \(m\) не відомо, \(p = 0.5\), \(q = 1 - p = 0.5\), \(n = 100\), тому $$\sqrt {npq} = 5, \qquad \left( {\frac{{{k_2} - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right) = \frac{{100 - 50}}{5} = 10, \qquad \left( {\frac{{{k_1} - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right) = \frac{{m - 50}}{5} = \frac{m}{5} - 10.$$ Тоді $$0.01 \approx {P_{100}}\left( {m,\left. {100} \right)} \right. \approx \left( {\Phi \left( {10} \right) - \Phi \left( {\frac{m}{5} - 10} \right)} \right) \approx 1 - \Phi \left( {\frac{m}{5} - 10} \right).$$ Звідси \(\Phi \left( {\frac{m}{5} - 10} \right) \approx 0.99\). Використовуючи таблиці для функції \(\Phi \left( x \right)\), знаходимо \(\frac{m}{5} - 10 \approx 2.33\), тоді \(m \approx 2.33 \cdot 5 + 10 \approx 61.65\). Отже, у ресторані має бути 62 місця (або більше).

Відповідь: 62 (або більше).