Розглянемо послідовність випадкових величин \({\xi _1}\), \({\xi _2}\), … у якій усі величини мають різні розподіли: величина \({\xi _n}\) приймає значення 0 або \({n^7}\) з ймовірностями: \[P\left( {{\xi _n} = {n^7}} \right) = \frac{1}{n}, \qquad P\left( {{\xi _n} = 0} \right) = 1 - \frac{1}{n}.\] Довести, що ця послідовність збігається за ймовірністю до нуля.

Кажуть, що послідовність випадкових величин \(\{ {\xi _n}\} \) збігається за ймовірністю до випадкової величини \(\xi \) при \(n \to \infty \) і позначається \(\xi _n \xrightarrow[n\to \infty]{\qquad P \qquad} \xi\), якщо $$\forall \varepsilon > 0 \qquad P\left( {\left| {{\xi _n} - \xi } \right| \ge \varepsilon } \right) \to 0, \quad n \to \infty .$$

Використовуючи наведене визначення, доведемо, що послідовність випадкових величин \(\{ {\xi _n}\} \), задана в умові, збігається за ймовірністю до 0. Для довільного \(\varepsilon > 0\) існує таке натуральне \({n_0}\), що \(n_0^7 > \varepsilon \), тому для всіх \(n > {n_0}\) $$P({\xi _n} \ge \varepsilon ) = P({\xi _n} = {n^7}) = \frac{1}{n}$$ і тоді $$P(\left| {{\xi _n} - 0} \right| \ge \varepsilon ) = P({\xi _n} \ge \varepsilon ) = P({\xi _n} = {n^7}) = \frac{1}{n} \to 0, \quad n\to \infty .$$ що й треба було довести.

Наведемо приклад описаної послідовності \(\{ {\xi _n}\} \) на конкретному ймовірносному просторі. Нехай ймовірносний простір \(\left( {\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}} \right) = \left( {\left[ {0.1} \right], \mathcal{B} \left[ {0.1} \right],\lambda } \right)\), тут \(\mathcal{B}\) – борелівська сигма-алгебра на відрізку \([0;1]\), а \(\lambda \) – міра Лебега. Випадкові величини визначимо наступним чином: \[{\xi _n}\left( \omega \right) = \left\{ \begin{array}{l}0,\qquad\;\; \omega \in \left[ {0,1 - \frac{1}{n}} \right],\\{n^{7}},\qquad \omega \in \left( {1 - \frac{1}{n},1} \right].\end{array} \right.\] Графіки цих функцій:

Бачимо, що випадкові величини \({\xi _n}\) при збільшенні \(n\) прийматимуть більші значення, але з меншою ймовірністю, що прямує до нуля.