Умова

Довести нерівність $$xy(1 - z) + x(1 - y)z + (1 - x)yz \le 1,$$ де \(x,\;y,\;z\; \in [0;1]\).

Доведення

Задача не має прямого відношення до теорії ймовірностей, але методи теорії ймовірностей можуть бути застосовані для доведення цієї нерівності. Продемонструємо два способи розв’язування – методом математичного аналізу і методом теорії ймовірностей.

Спосіб 1

Зафіксуємо \(y\) та \(z\). Розглянемо функцію \(f(x) = xy(1 - z) + x(1 - y)z + (1 - x)yz - 1\). Оскільки ця функція є лінійною, то вона приймає найбільше значення на одному з кінців відрізку \(\left[ {0,1} \right]\). Покажемо, що \(f(0) \le 0\) і \(f(1) \le 0\). $$f(0) = yz - 1,$$ а оскільки за умовою \(y \le 1\) і \(z \le 1\), то \(yz \le 1\). Отже, \(f(0) \le 0\). $$f(1) = y(1 - z) + (1 - y)z - 1 = y - yz + z - yz - 1 = (y - 1)(1 - z) - yz,$$ \(y - 1 \le 0\), \(1 - z \ge 0\), \( - yz \le 0\) за умовою, а отже, \(f(1) \le 0\).

Отримали, що на кінцях відрізку \(\left[ {0,1} \right]\) функція \(f(x)\) не перевищує 0. З цього випливає, що і на всьому відрізку функція не перевищує 0. Отже, вихідна нерівність виконується при фіксованих \(y\) та \(z\), проте які б \(y\) та \(z\) з \(\left[ {0,1} \right]\) не були обрані, нерівність залишиться вірною, а отже, вона виконується для будь-яких \(x,\;y,\;z\; \in [0;1]\).

Спосіб 2

Нехай незалежні події \(A\), \(B\) і \(C\) такі, що \(P(A) = x\), \(P(B) = y\), \(P(C) = z\). Розглянемо подію $$X ~=~ \{\style{font-family: Verdana}{\text{відбудуться рівно дві події з цих трьох подій}} \}.$$ Тоді ймовірність $$P(X) = P((A \cap B \cap \bar C) \cup (A \cap \bar B \cap C) \cup (\bar A \cap B \cap C)),$$ де \(\bar A\), \(\bar B\), \(\bar C\) – заперечення до \(A\), \(B\) та \(C\) відповідно. Скориставшись теоремою суми, а також незалежністю подій, неважко показати, що $$P(X) = xy(1 - z) + x(1 - y)z + (1 - x)yz.$$ Відомо, що \(P(X) \le 1\), що і доводить потрібну нерівність.

Перевірка Для перевірки отриманого результату напишемо програму мовою Javascript. Оскільки нас цікавить обмеженість виразу на певній області йог означень, то просто зробимо перебір.

const k = 3
const delta = Math.pow(0.1, k)

function f(x, y, z){
	return x*y*(1-z) + x*(1-y)*z + (1-x)*y*z;
}

max = 0;
x_ = 0;
y_ = 0;
z_ = 0;

function round_(x, n){ // округлення 
    m = 1;
    for(let i=0; i < n; i++) m *=10;
    return Math.round(x * m) / m;
}

// Перебір з урахуванням симетричності функції f(x,y,z):
for(let x = 0; x < 1; x += delta)
for(let y = x; y < 1; y += delta)
for(let z = y; z < 1; z += delta)
{
	tmp = f(x, y, z);
	if(tmp > max){
		max = tmp;
		x_ = x;
		y_ = y;
		z_ = y;
	}
}

console.log("max f = f(", round_(x_, k), ", ", round_(y_, k), ", ", round_(z_,k), ") =", max)

Результат роботи цієї програми:

max f = f( 0 ,  0.999 ,  0.999 ) = 0.9980010000000016

підтверджує правильність отриманого результату.