Сторінка Шарапова М.М.

Ряд розподілу та функція розподілу випадкової величини

Середній рівень

Умова

Кошик містить $ N $ куль, позначених номерами від $ 1 $ до $ N $. Послідовно виймають $ n $ куль, повертаючи кулі назад. Нехай $ \xi $ – найбільший номер, який був вийнятий при цьому. Знайти ряд розподілу та функцію розподілу випадкової величини $ \xi $. Зобразити графік функції розподілу для випадку, коли $ N = 5 $ та $ n = 3 $.

Розв’язок

Формалізуємо простір елементарних подій $$\Omega = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid \forall i \in \{1,... , n\}, \ a_i \in \{1,... , N\} \},$$ тобто, з $ n $ витягнутих куль кожна мала деякий номер від $ 1 $ до $ N $. Тоді за теоремою добутку $|\Omega| = N^n $.

Розглянемо подію $$A_k = \{\xi = k\} = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \Omega \mid \; \max a_i = k \},$$ тобто, серед $ n $ витягнутих куль (значення номерів кожної з яких може пробігати значення від $ 1 $ до $ N $), максимальним серед номерів є номер $ k $. Відзначимо, що $|A_k| = k^n - (k - 1)^n$, де зменшуване $ k^n $ є кількість векторів із $ n $ координатами, кожна координата яких може набувати значень від $ 1 $ до $ k $, а від’ємник $ (k - 1)^n $ є кількість векторів із $ n $ координатами, кожна координата яких може набувати значень від $ 1 $ до $ k - 1 $. Тоді за класичним визначенням ймовірності $$P(A_k) = \frac{k^n - (k - 1)^n}{N^n}.$$

Розглянемо ряд розподілу дискретної випадкової величини $ \xi $:

\[ x_i \]	\[ 1 \]	\[ 2 \]	\[ \dots \]	\[ N-1 \]	\[ N \]
\[ p_i \]	\[ \frac{1^n - 0^n}{N^n} \]	\[ \frac{2^n - 1^n}{N^n} \]	\[ \dots \]	\[ \frac{(N-1)^n - (N-2)^n}{N^n} \]	\[ \frac{N^n - (N-1)^n}{N^n} \]

Покажемо, що виконується характеристична властивість для цього ряду розподілу: $$\sum_{k=1}^{N} P(\xi = k) = \sum_{k=1}^{N} \frac{k^n - (k-1)^n}{N^n} = \frac{1}{N^n} \sum_{k=1}^{N} k^n - \sum_{k=1}^{N} (k-1)^n = \frac{1}{N^n} (N^n - 0^n) = 1.$$

Побудуємо функцію розподілу $F_\xi(x) = P(\xi \leq x)$ дискретної випадкової величини $\xi$:

якщо $x < 1$, то $P(\xi \leq x) = 0$, бо $\xi$ набуває лише значень із множини $\{1,2\ldots,N\}$, тому для $x < 1$ маємо, що $F(x) = 0$;
якщо $k \leq x < k+1$, де $k \in \overline{1,N-1}$, то $P(\xi \leq x) = \sum\limits_{m=1}^k P(\xi = m) = \sum\limits_{m=1}^k \frac{m^n - (m-1)^n}{N^n} = \frac{k^n}{N^n}$, тому для $k \leq x < k+1$ маємо, що $F(x) = \left(\frac{k}{N}\right)^n$;
якщо $x \geq N$, то $P(\xi \leq x) = 1$, бо всі значення, яких набуває дискретна випадкова величина $\xi$, не перевищують $N$, то для $x \geq N$ маємо, що $F(x) = 1$.

Отже, функція розподілу має наступний вид:

\[ F_\xi(x) = \begin{cases} 0 & x < 1, \\ \left( \frac{k}{N} \right)^n & k \leq x < k+1, \; k \in \overline{1, N-1}, \\ 1 & x \geq N. \end{cases} \]

Запишемо функцію розподілу для конкретного ($N = 5$ та $n = 3$) випадку.

\[ F_\xi(x) = \begin{cases} 0 & x < 1, \\ \frac{1}{125} & 1 \leq x < 2, \\ \frac{8}{125} & 2 \leq x < 3, \\ \frac{27}{125} & 3 \leq x < 4, \\ \frac{64}{125} & 4 \leq x < 5, \\ 1 & x \geq 5 \end{cases} \]

Подамо схематичне зображення графіку цієї функції розподілу.

Відповідь: ряд розподілу наведений у розв’язку (див. табл.);
функція розподілу \[ F_\xi(x) = \begin{cases} 0 & x < 1, \\ \left( \frac{k}{N} \right)^n & k \leq x < k+1, \; k \in \overline{1, N-1}, \\ 1 & x \geq N. \end{cases} \] графік функції розподілу для випадку, $N = 5$ та $n = 3$, наведено вище.