Умова

До урни, що містить \( n \) кульок, опустили білу кульку. Яка ймовірність дістати з цієї урни білу кульку, якщо всі припущення щодо кількості білих кульок в урні на початку експерименту рівноможливі?

Розв’язок

Позначимо: \( A \) = {була витягнута біла кулька}.

Гіпотези: \( H_i \) = {на початку в урні було \( i \) білих куль}, \( ~ i \in \{0, 1, . . . , n\} \).

Відзначимо, що це дійсно гіпотези, бо одночасно вони відбутись не можуть, але одна із них точно відбувається (за умовою). Оскільки усього можливих варіантів кількості білих кульок \( n+1 \) та всі вони рівноможливі, то за класичним визначенням ймовірності $$ P(H_i) ~=~ \dfrac{1}{n+1}, ~ ~ ~ i \in \{0, 1, . . . , n\}. $$

Розглянемо настання гіпотези \( H_i \), \( i \in \{0, 1, . . . , n\} \). Тоді кількість кульок в урні після того, як туди покладуть ще одну білу стане \( n+1 \), a кількість білих кульок в урні стане \( i+1 \). Оскільки, шанси у кожної кульки бути вийнятою з урни однакові, то за класичним визначенням ймовірності $$ P(A ~|~ H_i) ~=~ \dfrac{i+1}{n+1}, ~ ~ ~ i \in \{0, 1, . . . , n\}. $$

Використавши формулу повної імовірності отримаємо

$$ P(A) = \sum_{i=0}^{n}P(A~|~H_i)P(H_i) = \sum_{i=0}^{n} \frac{i+1}{n+1} \frac{1}{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)^2} \sum_{i=0}^{n} (i+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2(n+1)^2} = \dfrac{n+2}{2(n+1)}.$$

Відповідь: \( \dfrac{n+2}{2(n+1)} \).