Умова

Термін роботи електричної лампи має показниковий розподіл з математичним сподіванням 1000 годин. Знайти ймовірність того, що середній термін роботи для 100 ламп складе не менше 900 годин.

Розв’язок

Для показникового розподілу (час роботи \(i\)-ої лампи) \({\xi _i} \sim Exp(\lambda )\) $$ M{\xi _i} = \frac{1}{\lambda } = {10^3}, \qquad D{\xi _i} = \frac{1}{{{\lambda ^2}}} = {10^6}. $$

Звідси для \({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _n}} \) маємо \(M{S_n} = nM\xi = 100\cdot{10^3} = {10^5}\) та (зважаючи на незалежність доданків) \(D{S_n} = D\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _n}} = \sum\limits_{i = 1}^n {D{\xi _n}} = nD\xi = 100\cdot{10^6} = {10^8}\). Тоді за центральною граничною теоремою матимемо: \[P\left\{ {\frac{{{S_n}}}{n} \ge 900} \right\} = P\left\{ {{S_{100}} \ge 9\cdot{{10}^4}} \right\} = P\left\{ {\frac{{{S_{100}} - M{S_{100}}}}{{\sqrt {D{S_{100}}} }} \ge \frac{{9\cdot{{10}^4} - M{S_{100}}}}{{\sqrt {D{S_{100}}} }}} \right\} = \] \[ = P\left\{ {\frac{{{S_{100}} - M{S_{100}}}}{{\sqrt {D{S_{100}}} }} \ge \frac{{9\cdot{{10}^4} - {{10}^5}}}{{{{10}^4}}}} \right\} = 1 - P\left\{ {\frac{{{S_{100}} - M{S_{100}}}}{{\sqrt {D{S_{100}}} }} < \frac{{9\cdot{{10}^4} - {{10}^5}}}{{{{10}^4}}}} \right\} = \] \[ = 1 - P\left\{ {\frac{{{S_{100}} - M{S_{100}}}}{{\sqrt {D{S_{100}}} }} \le \frac{{9 - 100}}{{10}}} \right\} = 1 - \Phi \left( { - 1} \right) = 1 - \left( {1 - \Phi \left( 1 \right)} \right) = \Phi \left( 1 \right) = 0.8413.\]

Відповідь: 0.8413.