Знайти характеристичну функцію випадкової величини \( \xi \) зі щільністю $$ f(x) = \frac{a}{\pi (x^2 + a^2)}. $$

Це розподіл Коші з параметром \( a > 0 \).

За формулою \( \varphi(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f(x) dx \) маємо: $$ \varphi(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} \frac{a}{\pi (x^2 + a^2)} dx = \frac{a}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{itx}}{x^2 + a^2} dx. $$

Для обчислення цього інтеграла застосуємо теорію лишків. При \( t < 0 \) інтеграл \( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{itx}}{x^2 + a^2} dx \) дорівнює інтегралу, взятому по контуру, складеному з дійсної осі і замкнутого півкола нескінченного радіуса, розташованого в нижній півплощині. Оскільки інтегрування ведеться за напрямком руху часової стрілки, то значення інтеграла дорівнює лишку відносно полюса \( x = -ia \), помноженому на \( -2\pi i \), тобто $$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{itx}}{x^2 + a^2} dx = -2\pi i \mathop{\text{Res}}_{x=-ia} \frac{e^{itx}}{x^2 + a^2} = -2\pi i \frac{e^{it(-ia)}}{-2ia} = \frac{\pi}{a} e^{-at}. $$

Аналогічно при \( t > 0 \), замикаючи дійсну вісь через верхню півплощину, одержимо $$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{itx}}{x^2 + a^2} dx = \frac{\pi}{a} e^{-at}. $$

Отже, \( \varphi(t) = \frac{a}{\pi} \frac{\pi}{a} e^{-a|t|} = e^{-a|t|}. \)

Відповідь: \(\;\; \varphi(t) = e^{-a|t|} \).