Розподіл ймовірностей випадкового вектора \(\vec \xi = ({\xi _1},{\xi _2})\) задано наступним чином: \[\begin{array}{c|c|c|c|c} {\xi _1} \diagdown {\xi _2}& -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -1 & 0.05 & 0.02 & 0.1 & 0.15 \\ 0 & 0.12 & 0.08 & 0.13 & 0.04 \\ 1 & 0.01 & 0.1 & 0.15 & 0.05 \end{array}\] Обчислити:

1) розподіл випадкових величин \({\xi _1}\), \({\xi _2}\).

2) \(P({\xi _1} - {\xi _2} = 1)\).

1) Оскільки \(\vec \xi = ({\xi _1},{\xi _2})\) – дискретний випадковий вектор, то і \({\xi _1},{\xi _2}\) – дискретні випадкові величини. Щоб задати розподіл дискретної випадкової величини достатньо задати множину її значень та ймовірності їх появи. Для \({\xi _1}\) множина значень \(X^{(1)} = \{-1,0,1\}\). З властивостей розподілу дискретного випадкового вектора одержуємо \[P\{{\xi _1} = a\} = \sum\limits_b P\{{\xi _1} = a,{\xi _2} = b\}.\] Звідси \[P({\xi _1} = - 1) = P({\xi _1} = - 1,{\xi _2} = - 1) + P({\xi _1} = - 1,{\xi _2} = 0) + P({\xi _1} = - 1,{\xi _2} = 1) + P({\xi _1} = - 1,{\xi _2} = 2) = \] \[ = 0.05 + 0.02 + 0.1 + 0.15 = 0.32.\] Аналогічно \[P({\xi _1} = 0) = 0.12 + 0.08 + 0.13 + 0.04 = 0.37,\] \[P({\xi _1} = 1) = 0.01 + 0.1 + 0.15 + 0.05 = 0.31.\] Отже, для \(\xi_1\) розподіл задається такою таблицею (рядом розподілу ймовірностей): \[\begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline p & 0.32 & 0.37 & 0.31 \end{array}\] Аналогічно для \(\xi_2\) \[\begin{array}{c|c|c|c|c} y & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline q & 0.18 & 0.2 & 0.38 & 0.24 \end{array}\]

2) Для події \({\xi _1} - {\xi _2} = 1\) маємо \[P({\xi _1} - {\xi _2} = 1) = P({\xi _1} = 0,{\xi _2} = - 1) + P({\xi _1} = 1,{\xi _2} = 0) = 0.12 + 0.1 = 0.22.\]

Відповідь:

1) Для \(\xi_1\) розподіл задається таблицею

а для \(\xi_2\)

2) \(P\{{\xi _1} - {\xi _2} = 1\} = 0.22.\)