Умова

Система випадкових величин рівномірно розподілена в області \(D\), вказаній на рисунку. Знайти умовне математичне сподівання \(M(Y\; | \;x)\).

Розв’язок

Для умовних законів розподілу умовне математичне сподівання обчислюється за наступною формулою: \[M(Y|x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {y{f_2}(y|x)dy} ,\] де \({f_2}(y|x)\) - умовна щільність, яка визначається наступним чином: \[{f_2}(y|x) = \frac{{f(x,y)}}{{{f_1}(x)}} = \frac{{f(x,y)}}{{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)dy} }}.\] Для визначення щільності розподілу даної системи випадкових величин скористаємося наступною її властивістю: \[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)dxdy} = 1} ,\] а також тим, що в області \(D\) функція \(f(x,y) = c\). Тоді \[\iint\limits_D {f(x,y)dxdy = 1} ,\] \[c\iint\limits_D {dxdy = 1}.\]

Оскільки даний подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі області, обчислимо його як площу трапеції: \[{S_D} = \frac{{3 + 5}}{2} \cdot 2 = 8,\] звідки \(c = \frac{1}{8}\). Тоді \[f(x,y) = \begin{cases} 0, & \text{якщо } (x,y) \notin D; \\ \frac{1}{8}, & \text{якщо } (x,y) \in D. \end{cases}\]

Знайдемо щільність розподілу \({f_1}(x)\). За формулою \({f_1}(x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)dy} \). Якщо значення \(x\) недодатні, то щільність розподілу системи дорівнює нулю, а, отже, \({f_1}(x) = 0\). Якщо \(x \in [0,3]\), то область обмежена лініями \(y=0\) та \(y=2\). Таким чином, маємо: \[{f_1}(x) = \int\limits_0^2 {\frac{1}{8}dy} = \frac{1}{4}.\] Коли \(x\) змінюється на проміжку \((3,5]\), обмеження області \(D\) за \(y\) такі: знизу \(y=0\), зверху \(y=5-x\). Звідси \[{f_1}(x) = \int\limits_0^{5 - x} {\frac{1}{8}dy} = \frac{{5 - x}}{8}.\] Нарешті, коли \(x > 5\), \({f_1}(x) = 0\) (згідно зі значенням \(f(x,y)\)). Запишемо щільність розподілу для \(X\): \[{f_1}(x) = \begin{cases} 0, & \text{якщо } x \le 0; \\ \dfrac{1}{4}, & \text{якщо } 0 < x \le 3; \\ \dfrac{{5 - x}}{8}, & \text{якщо } 3 < x \le 5; \\ 0, & \text{якщо } x > 5. \end{cases}\]

Знайдемо умовну щільність розподілу, скориставшись формулою \({f_2}(y|x) = \dfrac{{f(x,y)}}{{{f_1}(x)}}\). \[{f_2}(y|x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & \text{якщо } 0 < y < 2,\; 0 < x \le 3; \\ \dfrac{1}{{5 - x}}, & \text{якщо } 0 < y < 5 - x,\; 3 < x < 5. \end{cases}\] Умовна щільність містить два відмінні від нуля вирази, для кожного з яких існує певне умовне математичне сподівання.

Якщо \(x \in (0,3]\), то \(M(Y|x) = \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}ydy} = \frac{{{y^2}}}{4}\Bigg|_0^2 = 1\).

Якщо \(x \in (3,5)\), то \(M(Y|x) = \int\limits_0^{5 - x} {\frac{y}{{5 - x}}dy} = \frac{1}{{5 - x}} \cdot \frac{{{y^2}}}{2}\Bigg|_0^{5-x} = \frac{{5 - x}}{2}\).

Відповідь: \[M(Y|x) = \begin{cases} 1, & \text{якщо } \;0 < x \le 3; \\ \dfrac{{5 - x}}{2}, & \text{якщо } \;3 < x \le 5. \end{cases}\]