Умова

Дискретна двовимірна випадкова величина задана таким чином:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c} Y \diagdown X & 1 & 3 & 4 & 8 \\ \hline 3 & 0.15 & 0.06 & 0.25 & 0.04 \\ 6 & 0.30 & 0.10 & 0.03 & 0.07 \end{array}\)
Знайти умовне математичне сподівання випадкової величини \(Y\) при умові \(X=1\).

Розв’язок

Знайдемо \(P(X=1)\). Для цього додамо ймовірності, що містяться в першому стовпчику таблиці: \[P(X = 1) = 0.15 + 0.30 = 0.45.\]

Знайдемо умовний розподіл ймовірностей \(Y\) при \(X=1\): \[P(Y = 3\;|\;X = 1) = \frac{{P(X = 1,Y = 3)}}{{P(X = 1)}} = \frac{{0.15}}{{0.45}} = \frac{1}{3},\] \[P(Y = 6\;|\;X = 1) = \frac{{P(X = 1,Y = 6)}}{{P(X = 1)}} = \frac{{0.30}}{{0.45}} = \frac{2}{3}.\] Знайдемо шукане умовне математичне сподівання за формулою: \[M(Y\;|\;X = x) = \sum\limits_{j = 1}^m {{y_j}P(Y = {y_j}\;|\;x)}.\] Отже, маємо: \[M(Y\;|\;X = 1) = \sum\limits_{j = 1}^2 {{y_j} \cdot P(Y = {y_j}\;|\;X = 1)} = \] \[ = {y_1}P(Y = 3\;|\;X = 1) + {y_2}P(Y = 6\;|\;X = 1) = 3 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{2}{3} = 5.\]

Відповідь: 5.