Дано послідовність випадкових величин \(\left\{ {{\xi _k}} \right\}\), \({S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} \), \(\left| {{S_n}} \right| < cn\), \(D{S_n} > \alpha {\kern 1pt} {n^2}\), \(n = 1.2,...\) де с та \(\alpha \) – деякі додатні сталі. Довести, що закон великих чисел для послідовності \({\xi _{1\,}},{\xi _2},...{\xi _n},...\) не застосовний.

Нехай \(\varepsilon \) – достатньо мале додатне число, \({F_n}(x)\) – функція розподілу \({S_n}\). Тоді, використовуючи визначення дисперсії, запишемо вираз для її обчислення. Оскільки \(\left| {{S_n}} \right| < cn\), то \[D{S_n} = \int\limits_{ - cn}^{cn} {{{(x - M{S_n})}^2}d{F_n}(x) = } \] \[ = \int\limits_{\left| {x - M{S_n}} \right| \le {\kern 1pt} \varepsilon {\kern 1pt} n} {{{(x - M{S_n})}^2}d{F_n}(x) + \int\limits_{\varepsilon {\kern 1pt} n < \left| {x - M{S_n}} \right| < cn} {\quad \;{{(x - M{S_n})}^2}d{F_n}(x) < } } \] \[ < {\varepsilon ^2}{n^2} + {c^2}{n^2}\int\limits_{\varepsilon {\kern 1pt} n < \left| {x - M{S_n}} \right| < c{\kern 1pt} n} {\quad d{F_n}(x).} \] При цьому $$\int\limits_{\varepsilon {\kern 1pt} n < \left| {x - M{S_n}} \right| < c{\kern 1pt} n} {\quad d{F_n}(x) = P\left\{ {\left| {\frac{{{S_n} - M{S_n}}}{n}} \right| > \varepsilon } \right\}} \tag{1}$$ Для того, щоб мав місце закон великих чисел, необхідно, щоб \(P\left\{ {\left| {\frac{{{S_n} - M{S_n}}}{n}} \right| > \varepsilon } \right\} \to 0\). Припустимо, що це так. Тоді з (1) випливає, що \[\int\limits_{\varepsilon {\kern 1pt} n < \left| {x - M{S_n}} \right| < c{\kern 1pt} n} {\quad d{F_n}(x) \to 0} .\]

Тоді \(D{S_n} = {\varepsilon ^2}{n^2} + o({n^2})\). Але при виборі \(\varepsilon < \alpha \) отримуємо протиріччя з умовою \(D{S_n} > \alpha {\kern 1pt} {n^2}\). Тому припущення про виконання ЗВЧ невірне та існує таке \({c_1} > 0\), що $$\int\limits_{\varepsilon {\kern 1pt} n{\kern 1pt} < \left| {{\kern 1pt} x{\kern 1pt} {\kern 1pt} - M{S_n}} \right| < cn} {\quad \;\;\,d{F_n}(x) > {c_1}} .$$

Отже, \(P\left\{ {\left| {\frac{{{S_n} - M{S_n}}}{n}} \right| > \varepsilon } \right\} > {c_1} > 0\). Тому закон великих чисел не застосовний, що і треба було довести.