Умова

Несиметричну монету підкидають до тих пір, поки не випаде герб. Решітка випадає з ймовірністю \(p\), а герб випадає з ймовірністю \(q\, = \,1\, - \,p\). Знайти ймовірність того, що дослід не завершиться після \(n\) підкидань, тобто, буде зроблено більше, ніж \(n\) підкидань.

Розв’язок

Простір елементарних подій описаного стохастичного експерименту задамо наступним чином: \[\Omega \, = \,\left\{ {{\omega _k}\,\left| {\,k\, \ge \,1} \right.} \right\},\] де \[ \omega _k ~=~ \left\{ Р, Р, . . . , Р, Г \right\},\] де \( Р \) означає, що випала решітка, а \( Г \) означає, що випав герб; кількість решіток рівна \(k - 1\). Подію \(A\, = \){дослід не завершиться після \(n\) підкидань} формалізуємо так: \(A\, = \,\left\{ {{\omega _k}\,\left| {\,k\, > \,n} \right.} \right\}\). Оскільки ймовірність кожного елементарного наслідку (через незалежність підкидань) складе $$P\left( {{\omega _k}} \right)\, = \,{p^{k - 1}} \cdot q,$$ то за визначенням ймовірності в рамках зліченної ймовірносної схеми маємо: $$P\left( A \right)\, = \,\sum\limits_{k\, = \,n\, + \,1}^\infty {P\left( {{\omega _k}} \right)} = \,\sum\limits_{k = n\, + \,1}^\infty {{p^{k - 1}} \cdot q} \, = \,{p^n} \cdot q \cdot \sum\limits_{k\, = \,0}^\infty {{p^k}} \,\, = \,{p^n} \cdot q \cdot \frac{1}{{1\, - \,p}}\, = \,{p^n}.$$ Зважаючи на отриману відповідь, можна зрозуміти, що задачу можна було розв’язати простіше: подія \(A\, = \,\left\{ {{\omega _k}\,\left| {\,k\, > \,n} \right.} \right\}\) насправді означає, що при перших \(n\) підкиданнях мали випадати лише решітки, а ймовірність цього, очевидно, дорівнює \({p^n}\).

Відповідь: \({p^n}\).

Перевірка Для перевірки отриманого результату напишемо просту програму мовою Javascript.

const p = 0.4
const n = 3

let N = 10000000 // скільки разів будемо проводити експеримент
let M = 0        // скільки разів експеримент буде успішним

// Кількість підкидань монети в одному експериментів (поки не випаде герб):
function lenhth_of_one_experiment(){
	let k = 0;
	let success = false;
	while(!success) {
		k++;
		success = Math.random() > p;		
	}
	return k;
}

// Моделвання N експериментів:
for(let i = 0; i<N; i++){
	if(lenhth_of_one_experiment() > n){
		M++;
	} 
}
console.log("Prob =", Math.pow(p,n));
console.log("Freq =", M/N);

Результат роботи цієї програми:

Prob = 0.06400000000000002
Freq = 0.064042

підтверджує правильність отриманого результату.