Умова

Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини \(X\), що має характеристичну функцію $$ \varphi(t) = \begin{cases} \frac{\sin t}{t}, & t \neq 0, \\ 1, & t = 0. \end{cases} $$

Розв'язок

Неважко бачити, що характеристична функція \( \varphi(t) \) має похідні будь-якого порядку в довільній точці \(t\), причому $$ \varphi'(t) = \frac{t \cos t - \sin t}{t^2}, \quad \varphi''(t) = \frac{-t^2 \sin t - 2t \cos t + 2 \sin t}{t^3} $$ при \( t \neq 0 \), а \( \varphi'(0) \) та \( \varphi''(0) \) визначаються з умови неперервності. Скориставшись правилом Лопіталя, маємо \( \varphi'(0) = 0 \), \( \varphi''(0) = -\frac{1}{3} \).

Як відомо, \[ \varphi^{(k)}(0) = i^k MX^k ,\] тому \[ MX = \frac{\varphi'(0)}{i} = 0 ,\qquad MX^2 = -\varphi''(0) = \frac{1}{3} .\] За властивістю дисперсії \[ DX = MX^2 - (MX)^2 = \frac{1}{3} .\]

Відповідь: \( MX = 0, \;\; DX = \frac{1}{3} \).

Інформація до роздумів: подумайте, характеристична функція якого розподілу розглянута у цій задачі і як це може допомогти у перевірці правильності отриманих результатів?