Умова

Зазвичай батько сварить сина за отриману в школі двійку 6 хвилин. Цього разу батькова нотація триває довше, ніж завжди. Знайти математичне сподівання та дисперсію тривалості нотації. Визначити, яка ймовірність того, що батько завершить свою нотацію упродовж наступної хвилини (вважати, що тривалість нотації розподілена за показниковим законом).

Розв’язок

Будемо розглядати тривалість нотації як деяку неперервну випадкову величину \( X \). За умовою ця величина має показниковий розподіл. Середня тривалість нотації (тобто її математичне сподівання) дорівнює \( MX = 6 \). Відомо, що для показникового розподілу \[ MX = \frac{1}{\lambda}, \] звідки маємо, що \( \lambda = \frac{1}{MX} = \frac{1}{6} \). Дисперсія тривалості нотації при цьому дорівнює

\[ DX = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{(1/6)^2} = 36. \]

Імовірність того, що батько закінчить читати нотацію упродовж найближчої (сьомої) хвилини при умові, що нотація триватиме більше, ніж 6 хвилин, можна підрахувати, скориставшись визначенням умовної ймовірності: \[ P\{X < 7\; |\; X > 6\} = \frac{P\{(X < 7) \cap (X > 6)\}}{P\{X > 6\}} = \frac{P\{6 < X < 7\}}{P\{X > 6\}} = \frac{F_X(7) - F_X(6)}{1 - F_X(6)} = \] \[ = \left| F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \end{cases} \right| = \frac{1 - e^{-7/6} - (1 - e^{-6/6})}{1 - (1 - e^{-6/6})} = \frac{e^{-1} - e^{-7/6}}{e^{-1}} = 1 - e^{-1/6} \approx 0.154. \]

Відповідь: \( MX = 6,\;\; DX = 36,\;\; P\{X < 7\; |\; X > 6\} = 1 - e^{-1/6} \approx 0.154. \)