Умова

Є дві урни. У першій знаходиться 5 білих та 15 чорних куль, у другій – 1 біла куля та 4 чорних. З першої урни навмання дістають одну кулю і перекладають її в другу. Після цього з другої урни також навмання дістають кулю – вона виявляється білою. Яка ймовірність того, що перекладена з першої в другу урну куля була чорною?

Розв’язок

Розглянемо такі події
\(\qquad \qquad H_1 = \{\)перекладена куля була білою\(\},\)
\(\qquad \qquad H_2 = \{\)перекладена куля була чорною\(\}.\)
які утворюють повну групу подій (очевидно, що вони є несумісними та вичерпують увесь імовірнісний простір, тобто, одна з них точно настане). Обчислимо ймовірності настання кожної з цих подій, скориставшись класичним визначенням імовірності: $$P({H_1}) = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}, \qquad P({H_2}) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}.$$ Розглянемо тепер подію \(A=\{\)витягнута навмання з другої урни куля була білою\(\}\). В нашій задачі шуканою є ймовірність \(P({H_1}|A)\). Для пошуку скористаємось формулою Байєса $$P({H_1}|A) = \frac{{P(A|{H_1})P({H_1})}}{{\sum\limits_{j = 1}^2 {P(A|{H_j})P({H_j})} }} \tag{1} $$ Знайдемо тепер \(P(A|{H_1})\). У другій урні після того, як переклали 1 чорну кулю, стало 1 біла та 5 чорних куль. Використовуючи формулу класичної ймовірності, отримуємо $$P(A|{H_1}) = \frac{1}{6}.$$ Обчислимо \(P(A|{H_2})\). У другій урні після того, як переклали 1 білу кулю, стало 2 білі та 4 чорні кулі. Отримуємо $$P(A|{H_2}) = \frac{1}{3}.$$ Отримані значення підставляємо в формулу (1): $$P({H_1}|A) = \frac{{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}}}{{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{3}{5}.$$

Відповідь: \(\dfrac{3}{5}\).