Умова

Обчислювальний пристрій складається з \(n = 1000\) елементів, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність відмови одного елемента за зміну дорівнює \(p = 0.024\). Знайти ймовірність того, що за зміну відмовлять \(m = 6\) елементів.

Розв’язок

Маємо схему незалежних випробувань Бернуллі з параметрами: \(p = 0,024\) (ймовірність відмови одного елемента, – зокрема ймовірність не-відмови складе \(q = 1 - 0,024 = 0,976\)), \(n = 1000\). Оскільки \(n\) достатньо велике, для підрахунку ймовірності скористаємось локальною теоремою Муавра-Лапласа: $${P_n}\left( m \right) \approx \frac{1}{{\sqrt {npq} }}\varphi \left( {\frac{{m - np}}{{\sqrt {npq} }}} \right),$$ де \(m = 6\), \(\varphi \left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}}}\) - щільність гауссівського розподілу (її значення беремо з таблиці). Підставляємо: $${P_{1000}}\left( 6 \right) = \frac{1}{{\sqrt {1000 \cdot 0,024 \cdot 0.976} }}\varphi \left( {\frac{{6 - 1000 \cdot 0.024}}{{\sqrt {1000 \cdot 0.024 \cdot 0.976} }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {23.424} }}\varphi \left( { - 3.719} \right) = $$ $$ = \frac{1}{{\sqrt {23.424} }}\varphi (3.719) \approx 0.2066 \cdot 0.0004 = 0.00008264 .$$

Відповідь: 0.00008264.