Умова

Кинуто два гральних кубики. Розглянемо такі випадкові події: \(A = \{ \)на першому кубику випало парне число\(\} \), \(B = \{ \)на другому кубику випало непарне число очок\(\} \), \(C = \{ \)сума очок на кубиках непарна\(\} \). Довести, що \(A\), \(B,\) \(C\) попарно незалежні, але не є незалежними у сукупності.

Доведення

Простір елементарних подій описаного стохастичного експерименту задамо наступним чином: $$\Omega = \left\{ {\left( {i,j} \right):\,i = \overline {1,6} ,\,j = \overline {1,6} } \right\},$$ де в кожній парі \((i,j)\) значення \(i\) відповідає числу, що випало на першому кубику, \(j\) – числу, що випало на другому кубику. Очевидно, що \(|\Omega | = 36\). Тоді згадані в умові події формалізуються так: $$A = \left\{ {(i,j):\,i \in (2,4,6),\,j = \overline {1,6} } \right\}, ~ ~ ~ ~ ~ \left( {|A| = 18} \right),$$ $$B = \left\{ {(i,j):\,i = \overline {1,6} ,j \in (1,3,5)} \right\} ~ ~ ~ ~ ~ \left( {|B| = 18} \right),$$ $$C = \left\{ {(i,j):\,i \in (1,3,5) \wedge j \in (2,4,6) \vee i \in (2,4,6) \wedge j \in (1,3,5)} \right\} ~ ~ ~ ~ ~ \left( {|C| = 18} \right).$$ Оскільки всі елементарні події рівноймовірні, то за формулою класичної ймовірності $$P(A) = \frac{1}{2}, ~ ~ ~ ~ ~ P(B) = \frac{1}{2}, ~ ~ ~ ~ ~ P(C) = \frac{1}{2}.$$ Аналогічно $$P(AB) = P(BC) = P(AC) = P\left( {\left\{ {(i,j):\,i \in (2,4,6) \wedge j \in (1,3,5)} \right\}} \right) = \frac{1}{4} = $$ $$ = P(A) \cdot P(B) = P(A) \cdot P(C) = P(B) \cdot P(C),$$ отже, \(A\), \(B,\) \(C\) попарно незалежні. Але $$P(ABC) = P\left( {\left\{ {(i,j):\,i \in (2,4,6) \wedge j \in (1,3,5)} \right\}} \right) = \frac{1}{4} \ne P(A) \cdot P(B) \cdot P(C),$$ отже, події \(A\), \(B,\) \(C\) не є незалежними в сукупності, що і треба було довести.

Перевірка Для перевірки отриманого результату напишемо програму мовою Javascript.

const n = 10000000
let count_A = 0
let count_B = 0
let count_C = 0
let count_AB = 0
let count_AC = 0
let count_BC = 0
let count_ABC = 0

function random_dice(){ // повертає рівноможливе значення з множини {1, 2, 3, 4, 5, 6}
	return Math.floor(Math.random()*6) + 1;
}

function odd(x){ // перевірка непарності
	return x % 2 == 1;
}

function even(x){ // перевірка парності
	return x % 2 == 0;
}

for(let i=0; i< n; i++){
	dice1 = random_dice(); 	// значення на першому гральному кубику (випадкове)
	dice2 = random_dice(); 	// значення на другому гральному кубику (випадкове)
	A = even(dice1);        // перевіряємо, чи відбулась подія A
	B = odd(dice2);         // перевіряємо, чи відбулась подія B
	C = odd(dice1+dice2);   // перевіряємо, чи відбулась подія C

	// обчислимо абсолютні частоти подій:
	count_A += A;
	count_B += B;
	count_C += C;
	count_AB += A && B;
	count_AC += A && C;
	count_BC += B && C;
	count_ABC += A && B && C;
}


console.log("freq(A) =", (count_A/n))
console.log("freq(B) =", (count_B/n))
console.log("freq(C) =", (count_C/n))

console.log("freq(A) * freq(B) =", (count_A/n) * (count_B/n))
console.log("freq(AB) =", (count_AB/n))

console.log("freq(A) * freq(C) =", (count_A/n) * (count_C/n))
console.log("freq(AC) =", (count_AC/n))

console.log("freq(B) * freq(C) =", (count_B/n) * (count_C/n))
console.log("freq(BC) =", (count_BC/n))

console.log("freq(A) * freq(B) * freq(C) =", (count_A/n) * (count_B/n) * (count_C/n))
console.log("freq(ABC) =", (count_ABC/n))

Результат роботи цієї програми:

freq(A) = 0.5001362
freq(B) = 0.4997275
freq(C) = 0.4999595
freq(A) * freq(B) = 0.2499318128855
freq(AB) = 0.2499116
freq(A) * freq(C) = 0.2500478444839
freq(AC) = 0.2499116
freq(B) * freq(C) = 0.24984351103625
freq(BC) = 0.2499116
freq(A) * freq(B) * freq(C) = 0.12495578420432814
freq(ABC) = 0.2499116

підтверджує правильність отриманого результату.