Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина \(\xi\) має скінченне математичне сподівання \(M\xi < \infty\) та скінченну дисперсію \(D\xi < \infty\), то для довільного \(\varepsilon > 0\) виконується нерівність: \[\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green}P\{|\xi - M\xi | \ge \varepsilon \} \le \frac{{D\xi }}{{{\varepsilon ^2}}}}}\] або (через теорему доповнення) \[\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green}P\{|\xi - M\xi | < \varepsilon \} \ge 1 - \frac{{D\xi }}{{{\varepsilon ^2}}}}}\]

Умова

У 400 незалежних випробовуваннях Бернуллі ймовірність успіху в кожному випробовуванні дорівнює 0.8. За допомогою нерівності Чебишова оцінити ймовірність того, що різниця між числом успіхів у цих випробовуваннях та середнім (очікуваним) числом успіхів буде менша за 20.

Розв’язок

Число успіхів в цих випробовуваннях розподілено за законом Бернуллі (за параметрами \(n = 400\), \(p = 0.8\)), тому середнє (очікуване) число успіхів дорівнює \[M\xi = np = 400 \cdot 0.8 = 320,\] а дисперсія \[D\xi = npq = 400 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 64.\] Тоді в силу нерівності Чебишова маємо: \[P(|\xi - 320| < 20) \ge 1 - \frac{{D\xi }}{{{{20}^2}}} = 1 - \frac{{64}}{{400}} = 0.84.\]

Відомо, що нерівність Чебишова дає досить грубу оцінку для відповідної ймовірності. Щоб показати це, обчислимо цю ж ймовірність за допомогою (наближеної) інтегральної формули Муавра-Лапласа: \[P(|\xi - 320| < 20) = P(|\xi - np| < \varepsilon ) = P\left( { - \frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }} < \frac{{\xi - np}}{{\sqrt {npq} }} < \frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }}} \right) = \] \[ = \Phi \left( {\frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }}} \right) - \Phi \left( { - \frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }}} \right) = \Phi \left( {\frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }}} \right) - \left( {1 - \Phi \left( {\frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }}} \right)} \right) = 2\Phi \left( {\frac{\varepsilon }{{\sqrt {npq} }}} \right) - 1 = \] \[ = 2\Phi \left( {\frac{{20}}{{\sqrt {400 \cdot 0.8 \cdot 0.2} }}} \right) - 1 = 2\Phi \left( {\frac{{20}}{{\sqrt {64} }}} \right) - 1 = 2\Phi \left( {\frac{{20}}{8}} \right) - 1 = 2\Phi (2.5) - 1 \approx \]

// значення функції Лапласа \(\Phi(2.5) \approx 0.99379\) шукаємо за таблицями // \[ \approx 2 \cdot 0.99379 - 1 = 0.9876.\]

Відповідь: 0.84 (але ця оцінка досить груба – більш точне її значення 0.9876).