Нехай випадкова величина \(X\) описує виграш у лотереї. З ймовірністю \(0.6\) людина не виграє нічого (отримує 0). З ймовірністю \(0.4\) виграш розподілений рівномірно на проміжку \([100, 500]\) гривень. Яка ймовірність того, що людина виграє менше 200 гривень?

Маємо суміш дискретного та неперервного розподілів. З ймовірністю \(0.6\) маємо дискретну компоненту, коли \(X = 0.\) З ймовірністю \(0.4\) маємо неперервну компоненту, рівномірно розподілену на проміжку \([100, 500]\) гривень.

Шукаємо \[P(X < 200) = P(X = 0) + P(0 < X < 200)\]

• \(P(X = 0) = 0.6\).
• Для обчислення \(P(0 < X < 200)\) потрібно використати щільність ймовірності рівномірного розподілу на проміжку \([100, 500]\) \[f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{500 - 100} = \frac{1}{400}, \quad 100 \le x \le 500.\] Отже, \[P(0 < X < 200) = P(100 \le X < 200) = 0.4 \cdot \int_{100}^{200} \frac{1}{400}\, dx = 0.4\cdot\frac{1}{400} \left[x\right]_{100}^{200} =\] \[= 0.4 \cdot \frac{1}{400} (200 - 100) = 0.4 \cdot \frac{100}{400} = 0.4 \cdot \frac{1}{4} = 0.1.\]

Таким чином, \[P(X < 200) = P(X = 0) + P(0 < X < 200) = 0.6 + 0.1 = 0.7\]

Відповідь: ймовірність того, що людина виграє менше 200 гривень, дорівнює 0.7.