Дано щільність двовимірного абсолютно неперервного випадкового вектора \((\xi,\;\mu)\): \[{f_{(\xi ,\mu )}}(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a({x^2} + {y^2}),}&{(x,y) \in D;}\\ {0,}&{(x,y) \notin D;} \end{array}} \right.\] де область \(D\) обмежена лініями \(x = 0\), \(x = 2\), \(y = 0\), \(y = 4\). Знайти \(a\), з'ясувати, чи є випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) залежними.

Область \(D\) має такий вид:

Як відомо, повний інтеграл від щільності дорівнює одиниці \[\mathop {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } ...\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } } {f_{{\xi _1}...{\xi _n}}({x_1},...,{x_n})d{x_1}...d{x_n} = 1} ,\] що дасть змогу знайти константу \(a\). Для цього обчислимо подвійний інтеграл: \[\iint\limits_D {{f_{(\xi ,\mu )}}(x,y)dxdy = \int\limits_0^2 {dx\int\limits_0^4 {a({x^2} + {y^2})dy = 1} } } ,\] \[a\int\limits_0^2 {\left( {{x^2}y + \frac{{{y^3}}}{3}} \right)\Bigg|_{y = 0}^{y = 4} dx = 1} \] \[\frac{{160a}}{3} = 1,\] Отже, \[{f_{(\xi ,\mu )}}(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{{160}}({x^2} + {y^2}),}&{(x,y) \in D;}\\ {0,}&{(x,y) \notin D;} \end{array}} \right.\] Щільності випадкових величин \(\xi, \mu\) знайдемо за такими відомими формулами: \[ \bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} {f_\xi }(x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_{(\xi ,\mu )}}(x,y)dy} ,\;\;\;\;\;{f_\mu }(y) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_{(\xi ,\mu )}}(x,y)dx} . }} \] Обчислюємо: \[{f_\xi }(x) = \int\limits_0^4 {\frac{3}{{160}}({x^2} + {y^2})dy} = \frac{3}{{160}}\left( {4{x^2} + \frac{{64}}{3}} \right),\;\;\;\;\;{f_\mu }(y) = \int\limits_0^2 {\frac{3}{{160}}({x^2} + {y^2})dx} = \frac{3}{{160}}\left( {\frac{8}{3} + 2{y^2}} \right).\]

Скористаємося такою властивістю незалежних випадкових величин: якщо випадковий вектор \(\xi = ({\xi _1},...,{\xi _n})\) має щільність, а його компоненти незалежні, то щільність вектора розпадається у добуток щільностей його координат: \({f_{{\xi _1}...{\xi _n}}}({x_1},...,{x_n}) = {f_{{\xi _1}}}({x_1})...{f_{{\xi _n}}}({x_n})\).

Знаходимо добуток \[{f_\xi }(x){f_\mu }(y) = \frac{3}{{160}}\left( {4{x^2} + \frac{{64}}{3}} \right)\frac{3}{{160}}\left( {\frac{8}{3} + 2{y^2}} \right) = \frac{1}{{25600}}\left( {12{x^2} + 64} \right)\left( {8 + 6{y^2}} \right).\] Бачимо, що \[{f_{(\xi ,\mu )}}(x,y) \ne {f_\xi }(x){f_\mu }(y).\] А це означає, що випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) залежні.

Відповідь: \(\;\;a = \dfrac{3}{160}, \;\) випадкові величини \(\xi\) та \(\mu\) залежні.