Нехай випадкова величина \(X\) має щільність розподілу \[f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}.\] Дослідити на існування моменти \(MX^k\) для натуральних \(k\).

Дана щільність відповідає розподілу Коші. Розглянемо момент порядку \(k\): \[MX^k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^k}{\pi(1+x^2)} \, dx.\] Для невласного інтеграла типу \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\) ми розбиваємо його на два інтеграли: \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\] і досліджуємо збіжність кожного окремо. Якщо обидва інтеграли збігаються, то збігається і загальний інтеграл. Якщо хоча б один з них розбігається, то загальний інтеграл також розбігається. У випадку моментів розподілу Коші: \[MX^k = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^k}{\pi(1+x^2)} \, dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{x^k}{\pi(1+x^2)} \, dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{x^k}{\pi(1+x^2)} \, dx.\] Для оцінки збіжності кожного з цих інтегралів ми досліджуємо поведінку підінтегральної функції при \(x \to \pm \infty\): \[\frac{x^k}{\pi(1+x^2)} \sim \frac{x^{k-2}}{\pi}.\]

Використовуючи ознаку порівняння з інтегралом \(\int_a^\infty \frac{1}{x^p} dx\), який збігається при \(p > 1\) і розбігається при \(p \le 1\), ми отримуємо, що інтеграл \[\int_{0}^{+\infty} \frac{x^k}{\pi(1+x^2)} dx\] збігається, якщо \(k-2 < -1\), тобто \(k < 1\), і за таких же умов збігається інтеграл \[\int_{-\infty}^{0} \frac{x^k}{\pi(1+x^2)} dx.\]
Оскільки для всіх натуральних \(k\) умова \(k < 1\) не виконується, то моменти розподілу Коші порядку \(k \ge 1\) не існують. Отже, для розподілу Коші існує лише момент нульового порядку (\(k = 0\)), який відповідає властивості нормування щільності ймовірності.

Відповідь: моменти розподілу не існують, починаючи з першого моменту.