Випадкова величина \(X\) має щільність розподілу: \[f(x) = \begin{cases} C \cdot e^{-|x|}, & -\infty < x < +\infty \\ 0, & \text{інакше} \end{cases}\] Знайти:

1. Константу \(C\).
2. Математичне сподівання \(MX\).
3. Дисперсію \(DX\).
4. Моменти третього та четвертого порядків: \(MX^3\) і \(MX^4\).

1) Знаходження константи C: для будь-якої щільності розподілу ймовірностей має виконуватися умова: \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.\] Отже, в нашому випадку: \[\int_{-\infty}^{+\infty} C \cdot e^{-|x|} \, dx = 1.\] Розіб'ємо інтеграл на два: \[C \left(\int_{-\infty}^{0} e^{x} \, dx + \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx\right) = 1,\] \[C \left(\left[e^x\right]_{-\infty}^{0} + \left[-e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}\right) = 1,\] \[C ((1 - 0) + (0 - (-1))) = 1,\] \[2C = 1,\] \[C = \frac{1}{2}.\] Отже, \(f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}\) для \(-\infty < x < +\infty\).

2) Математичне сподівання \(MX\) обчислюється за формулою: \[MX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx.\] У нашому випадку: \[MX = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{2} e^{-|x|} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-|x|} \, dx.\] Оскільки функція \(x e^{-|x|}\) є непарною, то інтеграл від непарної функції в симетричних межах дорівнює нулю: \[MX = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-|x|} \, dx = 0.\]

3) Дисперсія \(DX\): спочатку знайдемо \(MX^2\): \[MX^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-|x|} \, dx.\] Функція \(x^2 e^{-|x|}\) є парною, тому: \[MX^2 = \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x} \, dx.\] Обчислимо інтеграл частинами: \[MX^2 = \left[-x^2 e^{-x}\right]_0^{+\infty} + 2\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} \, dx = \] \[ = 0 + 2 \left(\left[-xe^{-x}\right]_0^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx\right) = 2 \left(0 + \left[-e^{-x}\right]_0^{+\infty}\right) = 2.\] Отже, \(MX^2 = 2\). Тепер знайдемо дисперсію \(DX\): \[DX = MX^2 - (MX)^2 = 2 - 0^2 = 2\]

4) Моменти третього та четвертого порядків: \[MX^3 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^3 f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^3 \cdot \frac{1}{2} e^{-|x|} \, dx = 0\] (оскільки функція \(x^3 e^{-|x|}\) є непарною). \[MX^4 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^4 f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^4 \cdot \frac{1}{2} e^{-|x|} \, dx = \int_{0}^{+\infty} x^4 e^{-x} \, dx = 3! = 6\] (оскільки функція \(x^4 e^{-|x|}\) є парною,а \(\int_0^\infty x^n e^{-x} dx = \Gamma(n+1) = n!\)).

Відповідь: \(C = \frac{1}{2}\), \(MX = 0\), \(DX = 2\), \(MX^3 = 0\), \(MX^4 = 6\).