Випадкова величина \(X\) задана щільністю розподілу: \[f(x) = \begin{cases} ax, & 0 \le x \le 2 \\ 0, & x < 0 \text{ або } x > 2 \end{cases}\] Знайти:

1. Значення константи \(a\).
2. Математичне сподівання \(MX\).
3. Дисперсію \(DX\).

1) Значення константи \(a\): Для щільності розподілу ймовірностей повинно виконуватися: \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.\] У нашому випадку: \[1 = \int_{0}^{2} ax \, dx = a \int_{0}^{2} x \, dx = a \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \] \[ = a \left(\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = 2a,\] \[a = \frac{1}{2}.\] Отже, \(f(x) = \dfrac{1}{2}x\) для \(0 \le x \le 2\).

2) Математичне сподівання \(MX\) обчислюється як \[MX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx.\] У нашому випадку: \[MX = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{4}{3}.\]

3) Дисперсія \(DX\): спочатку знайдемо \(M(X^2)\): \[M(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \] \[= \frac{1}{2} \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{4} = 2.\] Тепер знайдемо дисперсію \(DX\): \[DX = M(X^2) - (MX)^2\] \[DX = 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.\]

Відповідь: \(a = \frac{1}{2}\), \(MX = \frac{4}{3}\), \(DX = \frac{2}{9}\).