Умова

Верстат-автомат штампує деталі. Діаметр деталі (в мм) є випадковою величиною, що має нормальний розподіл із математичним сподіванням 25 мм та середньоквадратичним відхиленням 0.1 мм. Деталь вважається придатною, якщо її діаметр відхиляється від математичного сподівання не більше ніж на 0.15 мм.

1) Який відсоток придатних деталей виготовляє верстат?

2) Якщо було виготовлено 1000 деталей, скільки з них в середньому будуть придатними?

3) Знайти ймовірність того, що серед трьох випадково відібраних деталей придатними виявляться рівно дві.

Розв’язок

Нехай \( X \) - діаметр деталі. За умовою \( X \sim N(25; 0.1^2) \). Деталь є придатною, якщо \( |X - 25| \le 0.15 \), тобто \[ 24.85 \le X \le 25.15 .\]

1) Знайдемо ймовірність того, що деталь є придатною: \[ P\{24.85 \le X \le 25.15\} = \Phi\left(\frac{25.15 - 25}{0.1}\right) - \Phi\left(\frac{24.85 - 25}{0.1}\right) = \Phi(1.5) - \Phi(-1.5) = \] \[ = \Phi(1.5) - (1 - \Phi(1.5)) = 2\Phi(1.5) - 1 \approx 2 \cdot 0.9332 - 1 = 0.8664. \] Тут \( \Phi(x) \) - функція Лапласа (інтеграл ймовірностей). Отже, верстат виготовляє близько 86.64% придатних деталей.

2) З 1000 деталей (в середньому) придатними будуть \( 1000 \cdot 0.8664 = 866.4 \approx 866 \) деталей. Це по суті математичне сподівання випадкової величини \(Y\), яка є кількістю придатних деталей із 1000 виготовлених, \(Y \sim Bi(1000, 0.8664) \).

3) Нехай \( p = 0.8664 \) - ймовірність того, що деталь є придатною. Розглянемо схему Бернуллі з \( n = 3 \) випробуваннями, де "успіх" - це придатна деталь. Нам потрібно знайти ймовірність рівно двох "успіхів": \[ P\{k = 2\} = C_3^2 \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{3-2} = 3 \cdot (0.8664)^2 \cdot (1 - 0.8664) = 3 \cdot 0.7506 \cdot 0.1336 \approx 0.301. \]

Відповідь: 1) 86.64%; 2) 866 деталей; 3) 0.301.